Für welche alpha konvergiert das Integral?

Question

Hey:)

könnt ihr mir bei der Aufgabe helfen?

Ich hab dazu folgendes:

lim a-> unendlich Integral von 0 bis a e^-x^α

Dann lim a-> unendlich [-e^-x^α] a_0 =lim a-> unendlich -e^-a^α +1 =1 für alle a

Comments

Passt des so?:)

Answer 1

Hi,

für \( \alpha > 0 \) folgt mit der Transformation \( t = x^\alpha \) das gilt \( \frac{dt}{dx} = \alpha x^{\alpha -1} \) und daraus folgt

\( dx = \frac{1}{\alpha} t^{ \frac{1}{\alpha}-1 } dt \) damit wird $$ \int_0^\infty e^{ -x^\alpha } dx = \frac{1}{\alpha} \Gamma\left( \frac{1}{\alpha}  \right)  $$ wobei \( \Gamma() \) die Gammafunktion ist.

Für \( \alpha < 0 \) ist die Funktion \( e^{ -x^\alpha }  \) streng monoton wachsend und damit das Integral divergent.