Uneigentliches Integral mit alpha

Question

Aufgabe:

Ermittlen Sie, für welche \( \alpha \) das Integral
$$ \int \limits_{0}^{\infty}\left(\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{\alpha}{2 x+3}\right) d x $$
konvergiert und berechnen Sie den Wert des Integrals für diese \( \alpha \) s.

Comments

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Beitrag gelöscht , weil nicht mehr gebraucht wird.(auch von Clemens nicht mehr)

Wir warten auf Spacko seinen tollen Auftritt.

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kannst du nochmal den letzten schritt erklären, wo man "relativ schnell erkennen sollte, dass alpha=2 ist"

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@Grosserloewe

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Das ist eine wahrlich großartige Methode.

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um Deine Meinung hat Dich niemand gebeten.

Schreibe einen eigenen Beitrag, falls Du das kannst.

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Das kannst du getrost mir überlassen.

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leider könnte ich deine Antwort nicht mehr als beste Antwort wählen, wenn du es tatsächlich lösen solltest @spacko

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Answer 1

$$\int_{0}^{\infty} \dfrac{x}{x^2+1} - \dfrac{\alpha}{2x+3} \text{ d}x \\[16pt] = \lim\limits_{b\to\infty} \biggl[\dfrac{1}{2}\cdot\ln\left(x^2+1\right)-\dfrac{\alpha}{2}\cdot\ln\left(x+\dfrac 32\right)\biggr]_0^b \\[16pt] = \dfrac{1}{2}\cdot\lim\limits_{b\to\infty} \biggl[\ln\left(x^2+1\right)-\ln\left(x+\dfrac 32\right)^{\alpha}\biggr]_0^b \\[16pt] = \dfrac{1}{2}\cdot\lim\limits_{b\to\infty} \biggl[\ln\dfrac{x^2+1}{\left(x+3/2\right)^{\alpha}}\biggr]_0^b \\[16pt] = \dfrac{1}{2}\cdot\lim\limits_{b\to\infty} \left(\ln\dfrac{b^2+1}{\left(b+3/2\right)^{\alpha}}-\ln\dfrac{1}{(3/2)^{\alpha}}\right) \\[16pt] = \dfrac{1}{2}\cdot\lim\limits_{b\to\infty} \left(\ln\dfrac{\left(b^2+1\right)\cdot (3/2)^{\alpha}}{\left(b+3/2\right)^{\alpha}}\right) \\[16pt] = \dfrac{1}{2}\cdot \ln\left(\lim\limits_{b\to\infty}\dfrac{\left(b^2+1\right)\cdot (3/2)^{\alpha}}{\left(b+3/2\right)^{\alpha}}\right) \\[16pt] $$ Spätestens jetzt sieht man, dass die für die Existenz des Limes erforderliche Gleichgradigkeit von Zähler- und Nennerpolynom nur erreicht werden kann, wenn \(\alpha=2\) gilt. Damit folgt dann sofort $$= \dfrac{1}{2}\cdot \ln\left((3/2)^{2}\right) \\[16pt] =\ln\left(3/2\right). $$

Answer 2

vielleicht kann man das ja so machen, wie man bei α=1 den Wert berechnet, weiß ich leider nicht. Trotzdem hoffe ich dass ich dir weiterhelfen konnte.

Schönen Abend noch!

MfG Simon

Answer 3

Hallo

die 2 Teilintegrale haben beide, bis auf eine Konstante die Form f'/f und  ∫f'(x)/f(x)=ln(f(x))

also integrieren, dann a*lnb-c*lnd=ln(b^a/d^c)

und davon dann den GW für x->oo

lul