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Aufgabe:

Bestimmen Sie alle \( x \in \mathbb{R}, \) für die die Potenzreihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} k ! \cdot x^{k} \) konvergiert. Erinnerung: Es ist \( 0 !=1 \) und \( n !=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n \) für \( n \in \mathbb{N} \).


Problem/Ansatz:

Wenn ich den Konvergenzradius mittels Quotientenkriteriums bestimmen will komme ich auf keine eindeutige Zahl und kann so nicht weiter rechnen für den Konvergenzbereich.

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Wenn ich den Konvergenzradius mittels Quotientenkriteriums bestimmen will

... was bekommst du da als Ergebnisterm heraus?

Mein Quotientenkriterium wäre ja dann ((k+1)!)/(k!) damit wäre mein Konvergenzradius k?


Edit: k+1 meine ich

1 Antwort

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Beste Antwort

also mithilfe des Satzes von Cauchy-Hadamard ergibt sich ein Konvergenzradius R = 0, da:

limsup \( \sqrt[n]{n!} \) = ∞ (für n gegen ∞)


Daher wird die Potenzreihe für |x|>0 divergieren.

Für x=0 konvergiert die Reihe, da man in diesem Fall nur Nullen aufsummiert.


Wenn du das ganze mit dem Quotientenkriterium lösen möchstest, musst du beachten, dass du den Limes von |an+1| / |an| (n gegen ∞ betrachtest. Du hast recht in deinem Fall ergibt sich hier immer n+1 (bzw. k+1 je nachdem wie du deine Variable nennst). Betrachtet man nun aber den Limes n gegen unendlich so ist dein Grenzwert unendlich und nach Definition, ergibt sich auch hier ein Konvergenzradius von 0.


Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen!

Mfg Simon

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Vielen Dank, das hat mir sehr weiter geholfen, wieso konvergiert die Potenzreihe für |x|>0 und nicht |x|<0?


LG

Kaja

du meinst wahrscheinlich "wieso divergiert die Potenzreihe für |x|>0 und nicht |x|<0".

Das folgt ganz einfach aus der Definition des Konvergenzradius, beachte dass der Betrag einer Zahl niemals kleiner als 0 sein kann, deswegen |x|>0.


Die Divergenz für alle |x|>0 kann man auch so sehen:


\( \lim\limits_{n\to\infty} \)  n! * xn = ∞                                         für jedes x≠0 ,

somit hat man keine Nullfolge und die Reihe wird divergieren.


Schönen Abend noch!

MfG Simon

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