Konvergenz bei Potenzreihen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle \( x \in \mathbb{R}, \) für die die Potenzreihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} k ! \cdot x^{k} \) konvergiert. Erinnerung: Es ist \( 0 !=1 \) und \( n !=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n \) für \( n \in \mathbb{N} \).

Problem/Ansatz:

Wenn ich den Konvergenzradius mittels Quotientenkriteriums bestimmen will komme ich auf keine eindeutige Zahl und kann so nicht weiter rechnen für den Konvergenzbereich.

Comments

Wenn ich den Konvergenzradius mittels Quotientenkriteriums bestimmen will

... was bekommst du da als Ergebnisterm heraus?

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Mein Quotientenkriterium wäre ja dann ((k+1)!)/(k!) damit wäre mein Konvergenzradius k?

Edit: k+1 meine ich

Answer 1

also mithilfe des Satzes von Cauchy-Hadamard ergibt sich ein Konvergenzradius R = 0, da:

limsup \( \sqrt[n]{n!} \) = ∞ (für n gegen ∞)

Daher wird die Potenzreihe für |x|>0 divergieren.

Für x=0 konvergiert die Reihe, da man in diesem Fall nur Nullen aufsummiert.

Wenn du das ganze mit dem Quotientenkriterium lösen möchstest, musst du beachten, dass du den Limes von |a_n+1| / |a_n| (n gegen ∞ betrachtest. Du hast recht in deinem Fall ergibt sich hier immer n+1 (bzw. k+1 je nachdem wie du deine Variable nennst). Betrachtet man nun aber den Limes n gegen unendlich so ist dein Grenzwert unendlich und nach Definition, ergibt sich auch hier ein Konvergenzradius von 0.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen!

Mfg Simon

Comments

Vielen Dank, das hat mir sehr weiter geholfen, wieso konvergiert die Potenzreihe für |x|>0 und nicht |x|<0?

LG

Kaja

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du meinst wahrscheinlich "wieso divergiert die Potenzreihe für |x|>0 und nicht |x|<0".

Das folgt ganz einfach aus der Definition des Konvergenzradius, beachte dass der Betrag einer Zahl niemals kleiner als 0 sein kann, deswegen |x|>0.

Die Divergenz für alle |x|>0 kann man auch so sehen:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \)  n! * xⁿ = ∞                                         für jedes x≠0 ,

somit hat man keine Nullfolge und die Reihe wird divergieren.

Schönen Abend noch!

MfG Simon