Aloha :)
Wir folgen der Aufgabenstellung und skizzieren zunächst die Menge \(\Omega\):
~plot~ 2-x ; sqrt(x) ; -sqrt(x) ; {1|1} ; {4|-2} ; [[-0,5|5|-2,5|2,5]] ~plot~
Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind \((1;1)\) und \((4;-2)\). Für das gesuchte Integral über die Punktmenge \(\Omega\) können wir folgende Intervalle verwenden:$$x\in[0;1]\quad;\quad y\in[-\sqrt x;\sqrt x]$$$$x\in[1;4]\quad;\quad y\in[-\sqrt x;2-x]$$Das heißt:$$I=\int\limits_\Omega(6x+2y^2)\,d(x,y)=\int\limits_0^1dx\int\limits_{-\sqrt x}^{\sqrt x}dy\,(6x+2y^2)+\int\limits_1^4dx\int\limits_{-\sqrt x}^{2-x}dy\,(6x+2y^2)$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1dx\left[6xy+\frac{2}{3}y^3\right]_{y=-\sqrt x}^{\sqrt x}+\int\limits_1^4dx\left[6xy+\frac{2}{3}y^3\right]_{y=-\sqrt x}^{2-x}$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1dx\left[\left(6x\sqrt x+\frac{2}{3}x\sqrt x\right)-\left(-6x\sqrt x-\frac{2}{3}x\sqrt x\right)\right]$$$$\phantom{I}+\int\limits_1^4dx\left[\left(6x(2-x)+\frac{2}{3}(2-x)^3\right)-\left(-6x\sqrt x-\frac{2}{3}x\sqrt x\right)\right]$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1\frac{40}{3}x^{3/2}dx-\int\limits_1^4\frac{2}{3}(x^3+3x^2-6x-8)dx+\int\limits_1^4\frac{20}{3}x^{3/2}dx$$$$\phantom{I}=\frac{16}{3}\left[x^{5/2}\right]_0^1-\frac{2}{3}\left[\frac{x^4}{4}+x^3-3x^2-8x\right]_1^4+\frac{8}{3}\left[x^{5/2}\right]_1^4$$$$\phantom{I}=\frac{16}{3}(1-0)-\frac{2}{3}\left(48+\frac{39}{4}\right)+\frac{8}{3}\left(32-1\right)=\frac{16}{3}-\frac{77}{2}+\frac{248}{3}$$$$\phantom{I}=\frac{32-231+496}{6}=\frac{297}{6}=\frac{99}{2}$$
