Normalbereich von Typ 2 zu Typ 1 transformieren

Question

Aufgabe:

Gegeben ist der Normalbereich von Typ 2: $$B=[0<=y<=\pi , \sqrt{y}<=x<=\sqrt{\pi}]$$

Schreiben sie diesen in einen Normalbereich von Typ 1 um.

Problem/Ansatz:

Nun hätte ich eine Frage, wie man generell bei diesen Aufgabentypen vorgeht.

Also zu Beginn würde ich schauen, für welche Werte welche y annehmen kann, x sein Minimum und sein Maximum erreicht.

Hier sind es folgende Werte:

Minimum: x=0 für y=0, Maximum: x=$$\sqrt{\pi}$$

Diese Werte kann ich nun nehmen um x anhand von konstanten zu definieren: $$0\leq x \leq \sqrt{\pi}$$

Nun beim definieren von y habe ich Probleme.

Als erstes habe ich versucht, den linken Teil der Ungleichung nach y aufzulösen:

$$y \leq x^2$$

Danach versuche ich den rechten Teil nach y aufzulösen, aber das geht ja nicht, da der Therm kein y enthält.

Könnte mir jemand bitte helfen und erklären, wie bei solchen Aufgaben das generelle Vorgehen ist?

Answer 1

Du könntest noch 0 als untere Grenze für y nehmen also wie folgt:

B1 = {0 ≤ x ≤ √π und 0 ≤ y ≤ x^2}

Comments

Die untere Grenze war auch bei den anderen Aufgaben die ich probiert habe meistens das Problem. Wie kommt man auf diese?

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Die ist doch bereits in deinem Normalbereich Typ 2 gegeben.

Kannst du es dir ansonsten evtl. mal skizzieren. Das hilft immer für das Verständnis.

^{https://www.wolframalpha.com}

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Also mit aufzeichnen kann ich die Typen transformieren normalerweise.

Ich versuche halt mir einen klaren Weg aufzustellen, mit dem man immer mit der selben Schrittfolge auf das Ergebnis kommt, ohne Zeichnen zu müssen, da manche Normalbereiche in einer Prüfungssituation evtl. nicht offensichtlich zu zeichnen sind unter Zeitdruck.

Könnte man so sagen, dass mindestens eine der Grenzen für das y hier durch x beschrieben werden muss, und die andere dann aus dem Typ 2 übernommen werden kann, wie hier die 0?

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Du hast doch bereits in deinem Normalbereich 2 3 einfache Bedingungen die du so übernehmen könntest.

0 ≤ y ; y ≤ π ; x ≤ √π

Nun hast du noch eine etwas schwierigere Bedingung von der du die Umkehrfunktion brauchst

√y ≤ x --> y ≤ x^2

Jetzt hast du bereits die Bedingungen für y zusammen.

0 ≤ y ≤ x^2

Für x haben wir bereits die obere Grenze. Die untere Grenze können wir aus √y ≤ x gewinnen, indem wir hier für y = 0 einsetzen. Also erhalten wir

0 ≤ x ≤ √π