Bei der Aufgabe b) komme ich nicht weiter.
Gegeben sei die Funktion:
$$ R→R, x→ \ln(\sqrt{3x^2+2})$$
a) Stellen Sie das Taylerpolynom 2. Grades von f mit Entwicklungspunkt x 0= 2 auf.
f(x) = 1/2 · ln(3x^2+2)
f'(x) = 1/2 · 1/(3x^2+2) · 6x --> 6x/6x^2+4 -->3x/3x^2+2
u=3x u'=3 v=3x2+2 v'=6x (u' · v - v' ·u) / v2
f''(x)= (3 · (3x2 +2) - 6x ·3x) / (3x2 + 2)2 = (-9x2 +6) / (x2 +2)2
f(2) = ln√(3·2^2+2) = ln(√14)
f'(2) = 3/7
f''(2) =·-15/98
Taylorpolynom: f(x0) + f′(x0)·(x−x0) +(f′′(x0)/2)·(x−x0)2
= ln(√14) + 3/7 · ( x-2) -(15/196)·(x−2)2
Das müsste richtig sein, doch bei der Aufgabe b komme ich nicht weiter, obwohl die Lösung eigentlich ja schon angegeben ist.
b) Berechnen Sie das Restglied R2;2 (3).
(Lösung: R2;2(3) = f(3) − T2;2(3) ≈ 0,3762)
Mein Lösungsversuch:
f(3) = ln√(3·3^2+2) = 1,683647915
T2;2(3) = f(x0) + f′(x0)·(x−x0) +(f′′(x0)/2)·(x−x0)2 --> f(2) + f′(2)·(3−2) +(f′′(2)/2)·(3−2)2 --> ln(√14) + 3/7 · (3-2) -(15/196)·(3−2)2 = 1,671569481
1,683647915-1,671569481 = 0.012078434
Aber ≈ 0,3762 bekomme ich nicht raus.
Hat jemand eine Idee ?
