Reelles Integral mit Residuumsatz

Question

Die Aufgabe lautet:

berechnen sie \( \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{1+cos(x)^{2}} dx\) mit Hilfe des Residuensatzes.

Ich finde irgendwie gar keinen Ansatz, der zu einer Lösung führt. Bisherige Überlegungen..

Nenner kann man umschreiben in \( 1+cos(x)^{2} = (cos(x)-i)(cos(x)+i) \), und \( cos(x) = \frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix}) \) Zusammengefasst ergibt das:

\( \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{1+cos(x)^{2}} dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{ (\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})+i)*(\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})-i) } dx  \)  Das bringt mich irgendwie nicht weiter. Zerlege ich den nenner nicht, sondern setze nur die definition von cos(x) so erhalte ich:

\( \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{1+cos(x)^{2}} dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{1+(\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix}))^{2}} dx = \int_{\gamma} \frac{1}{1+(\frac{1}{2}(z+z^{-1}))^{2}} * \frac{1}{iz} dz \) ausmultipliziert und mit 4i/4i erweitert ergibt

\( \int_{\gamma} -\frac{4i}{z^{3}+12z+4z^{-1}}dz  \) Ich müsste jetzt doch mit dem Nenner was machen können oder? Gehe ich überhaupt in die richtige Richtung oder ist das alles Quatsch, was ich mache?

Answer 1

Lautet die Aufgabe so?

1/(1 +cos ^2(x)) dx

Dann setzt Du die Definition des Cosinus ein.Danach bestimmst Du die Polstellen und prüfst, ob diese innerhalb des Einheitskreises liegen .

usw

Ich habe als Lösung des Integrales den Wert  π √2 bekommen.

dazu ein Video:

https://www.youtube.com/watch?v=VN0ac1svSIg

Comments

Auf Papier klappt es irgendwie nicht. Ich schreibe es mal hier rein.

\( f(z) := \frac{1}{iz}R(\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z}),\frac{1}{2i}(z-\frac{1}{z}))  \) Der sinus Anteil fällt weg:

\(  f(z)= \frac{1}{iz} \frac{1}{1+\frac{1}{4}(z+\frac{1}{z})^{2}} = \frac{z}{i} \frac{4}{z^{4}+6z^{2}+1} \) Hier habe ich alles ausmultipliziert und mit 4z/4z erweitert. Die Nullstellen hiervon sind:

\(  z_{1,2} = \pm i \sqrt{3-2\sqrt{2}} \)

\(  z_{3,4} = \pm i \sqrt{3+2\sqrt{2}} \)

\( z_{3,4} \not \in B_{1}(0), z_{1,2} \in B_{1}(0) \)

Für \(  f(z) = \frac{g(z)}{h(z)} \) Ist dann das Residuum die summe der Residuen an z1 und z2 von  \(  f(z) = \frac{g(z)}{h´(z)} \)

\(  f(z) = \frac{g(z)}{h´(z)} = \frac{1}{i} \frac{4z}{4z^{3} + 12z} =  \frac{1}{i} \frac{1}{z^{2} + 3} \)

Damit folgt:

\( \int_{0}^{2pi} \frac{1}{1+cos^{2}(x)} dx = 2i\pi( \frac{1}{i}(  \frac{1}{3+2\sqrt{2} + 3} + \frac{1}{3+2\sqrt{2} + 3})) = 2\pi(\frac{2}{6+2\sqrt{2}}) = \frac{2\pi}{3+\sqrt{2}} \)

Wo ist denn mein Fehler?

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Fehler ist gefunden (ziemlich dämlich von mir...). Ich habe beim einsetzen der Nullstellen das i der Nullstellen vergessen... Daraus wir beim Quadrieren natürlich eine -1 was dann im Nenner den Term -3+2sqrt(2)+3 ergibt. Also hab ich (1/2(sqrt(2)) + 1/2sqrt(2))*2*pi = 2pi/sqrt(2) = pi* sqrt(2).

Damit ist die Aufgabe gelöst.