Durch α‾ (gN):= (α(g))N mit g∈G wird ein Gruppenhomomorphismus α‾: G/N → G/N definiert.
Was du zeigen musst ist ja: Für zwei Elemente X , Y aus G/N gilt
α‾ ( X*Y) = α‾ ( X) * α‾ ( X)
Nun sind die X und Y ja Klassen aus G/N, also gibt es ein a aus G mit X = a*N und ein
b aus G mit y = b*N .
Die Verknüpfung der Klassen wird aber über die Vertreter definiert, also ist
X*Y = (a*b)*N und nach Def. von α‾ ist α‾ ( X*Y) = (α(a*b))*N
Weil α ein Hom ist ist das gleich (α(a) * α(b))*N .
Und weil N ein Normalteiler ist, ist das die Klasse , die als Produkt von α‾ ( X) und α‾ ( X)
entsteht.