Gruppenhomomorphismus und N Untergruppe G

Question

Sei α: G→ G ein Gruppenhomomorphismus und N Normalteiler G mit α (N) ≤ N.

Zeigen Sie:

1. Durch α‾ (gN):= (α(g))N mit g∈G wird ein Gruppenhomomorphismus α‾: G/N → G/N definiert.

2. Ist  α ein Automorphismus von G mit α (N) = N, so ist der in (1) definierte Homomorphismus α‾ ein Automorphismus von G/N.

Leider komme ich bei der Aufgabe überhaupt nicht weiter, hat jemand einen Tipp?

Answer 1

Durch α‾ (gN):= (α(g))N mit g∈G wird ein Gruppenhomomorphismus α‾: G/N → G/N definiert.

Was du zeigen musst ist ja: Für zwei Elemente X , Y aus G/N gilt

 α‾ ( X*Y) =  α‾ ( X)  *   α‾ ( X)

Nun sind die X und Y ja Klassen aus G/N, also gibt es ein a aus G mit X = a*N und ein

b aus G mit y = b*N .

Die Verknüpfung der Klassen wird aber über die Vertreter definiert, also ist

X*Y = (a*b)*N und  nach Def. von  α‾  ist    α‾ ( X*Y) =   (α(a*b))*N

Weil α ein Hom ist ist das gleich  (α(a) * α(b))*N .

Und weil N ein Normalteiler ist, ist das die Klasse , die als Produkt von  α‾ ( X)  und    α‾ ( X)

entsteht.