Question

Eine mikroökonomische Konsumfunktion hat in der Regel die Gestalt:

fa : [0,∞) → [0, ∞), x 7−→ fa(x) = c * ((x+1)/(x+a))

mit reellen Parametern c > 0 und a > 1. Hierbei gibt x das Einkommen und f(x) die Ausgaben eines Haushalts an.

a)  Berechnen und interpretieren Sie die Grenzwerte

limx→0 fa(x), limx→∞ fa(x), lima→1 fa(x). 

b) Zeigen Sie, dass die Konsumfunktion fa unabhängig von den Parametern a und c auf dem gesamten Intervall (0,∞) unelastisch ist.

Answer 1

limx→0 fa(x)  =  c/a

, limx→∞ fa(x) =  c

lima→1 fa(x)   =  c

b) unelastisch heißt ja 0 < |ε| < 1

mit ε =   y ' * x / y  und  y ' =  (a-1)*c / ( x+a)²  hast du

ε =  ((a-1)*c / ( x+a)²  ) * x   /   (  c(x+1) / (x+a)  )

 = ((a-1)*c / ( x+a)²  )  * x   *  (x+a)  /  ( c(x+1  ) ) 

=  ((a-1)*x  )   /   (  ( x+a)  * (x+1) )

=  ( (a-1) / (x+a) )       *  (   x/(x+1)  )

Beide Brüche haben Werte zwischen 0 und 1, also auch ihr Produkt.