Darstellungsmatrix bezüglich geeigneter Basis

Question

Es ist V ein Vektorraum und  f: V → V eine lineare Abbildung. Zudem gilt Kern(f) = Bild(f)

Zeigen Sie, dass die Darstellungsmatrix von f bezüglich einer geeigneten Basis (welche gleichzeitig in Bild wie Urbildraum genutzt werden soll) mindestens 3/4 n² Nulleinträge hat.

Meine Ideen bisher:

1) dimV = n   mit n gerade, da dimV = dimKern(f) + dimBild(f) = 2 • dimKern(f)    (Rangsatz)

   also dimKern(f) = dimBild(f) = 1/2 n

2) als Basis B hätte ich B = (b₁,...,b_{1/2 n}) gewählt

Nimmt man beispielhaft für die Vektoren in B die Standardvektoren, dann ergibt sich für die Abbildungsmatrix logischerweise die Nullmatrix (also n² Nulleinträge).

Wie muss ich nun aber B wählen, um zu zeigen, dass die Abbildungsmatrix mindestens 3/4 n² Nulleinträge besitzt?

:)

Answer 1

1) dimV = n   mit n gerade, da dimV = dimKern(f) + dimBild(f) = 2 • dimKern(f)    (Rangsatz)

   also dimKern(f) = dimBild(f) = 1/2 n

Ist doch soweit schon ganz gut, dann vielleicht so:

Es ist ja V = direkte Summe von Kern(f) + Bild(f)

2) Also wähle ich zunächst eine Basis von Bild(f)  (b₁,...,b_{1/2 n}) und

ergänze diese durch eine Basis des Kerns  (b_{1+1/2 n},...,b_n) zu einer Basis von V.

Dann sind die Bilder der Basisvektoren (b_{1+1/2 n},...,b_n) jeweils der Nullvektor, also

sind die letzten n/2 Spalten der Matrix alles Spalten aus lauter 0-en.

Damit besteht die "rechte" Hälfte der Matrix nur aus 0-en.

Das untere linke Viertel der Matrix besteht auch nur aus 0-en; denn die


Bilder von   (b₁,...,b_{1/2 n}) liegen ja auch wieder in BIld(f), zu ihrer


Darstellung werden also nur  (b₁,...,b_{1/2 n})  benötigt, die Koeffizienten der


anderen Basisvektoren sind also 0-en.  Also hat man hier ein weiteres


Viertel der Matrixeinträge, die nur 0-en sind.  q.e.d.