Obersumme einer Funktion mit Grenze n

Question

ich habe folgendes Problem: Ich möchte die Obersumme/Untersumme einer Funktion f in einem Intervall [0,b] berechnen. Ich kam bisher mit der Ober/Untersummenberechnung mit I=[0,1] klar, aber jetzt finde ich keine Formel die für I=[0,b] hinhaut.

Das war mein Ansatz:

(für x²)

O_n = (bx/n)³*(b²+2b²+3b²+...+bn²)

Bin sehr dankbar für Antworten! :)

Answer 1

Hallo IA,

bei der allgemeinen  Fragestellung solltest du mal hier bei [1.1] schauen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral

Bei stetigen monotonen Funktionen könnte man das einfacher darstellen,

z.B. für f(x) = x² :

 http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/O_U_quadFkt.pdf

Die Obersumme ergibt dort am Ende

O_n  =  (b/n)³ * 1/6 * n * (n+1) * (2n+1)

       = 1/6 *  b³ * (1/n)²  * (n+1) * (2n+1)     ( n kürzt sich einmal weg)

       =  1/6 * b³ * (1+1/n) * (2+1/n)

            wenn man in jede Klammer einen der Faktoren 1/n "reinmultipliziert"

               [  →_n→≈    1/3 b³  ]

Gruß Wolfgang