Integration durch Substitution? Paar aufgaben

Question

HEY :)
Und zwar lerne ich für meine PRÜFUNG und komme bei paar Aufgaben nicht weiter. Würde mich deswegen freuen wenn jmd. mir die lösen könnte.
Aufgaben: ! Mit Substitution lösen !
1) 4/(2x-5)^{3
2)  4/x+2-3x}
3) 4*√(3x+5)

Danke euch voraus.
MfG. :)

Comments

Was steht hier genau unter dem Bruchstrich? 2)  4/x+2-3x 

Ohne Klammern steht nur das x unter dem Bruchstrich. 

f(x) =   4/x+2-3x = 4x^{-1} + 2  - 3x 

Nun ohne Substitution integrierbar! 

---

oh meinte eigenltich das alle unter bruchtstrich stehen

Answer 1

Zu (1)

Substituiere \( z = 2x - 5 \) dann folgt \( dz = 2 \ dx \) also \( dx = \frac{1}{2} \ dz \) damit folgt
$$  \int \frac{4}{(2x-5)^3} dx = \int \frac{4}{z^3} \frac{1}{2} \ dz  = 2 \frac{1}{-3+1} z^{-3+1} = -z^{-2} = -\frac{1}{(2x-5)^2}  $$

Zu (2)
Erstmal genau hinschreiben wie die Funktion aussehen soll. Klammern setzten!

Zu (3)
Ähnlich wie (1)

Answer 2

Hallo mistermathe,

bei 1) und 3) benötigst du die  Potenzregel:   ∫  x^r  dx  =  1 / (r+1) · x^r+1      [PR]

1)   da ist bei der Antwort von Ullim etwas mit dem Code schiefgelaufen:

       [ Nachtrag:  inzwischen ist der Code lesbar ]

∫  4 / (2x - 5)³  dx         

Substitution:  z = 2x - 5   →  z ' = dz/dx = 2   →   dx = dz / 2

Einsetzen:

∫=    4 / z³ · 1/2 dz  =  2 · ∫ z^-3 dz   =_PR   2 · (-1/2) · z^-2  +  c     [ c∈ℝ  = Integrationskonstante ] 

               =  - 1 / z²  +  c      und nach Rücksustitution 

               = - 1 / (2x - 5)² + c 

2)    Aufgabenstellung unklar

3)

∫ 4 · √(3x + 5) dx   

Substitution:  z = 3x + 5   →  z ' = dz/dx = 3   →   dx = dz / 3

Einsetzen:

∫  4 ·√z   1/3 · dz  =  4/3 · ∫ z^1/2 dz   =_PR   4/3 ·2/3 ·  z^3/2 + c    [ c∈ℝ  = Integrationskonstante ] 

              =  8/9 · √( z³)  + c   =  8/9 · √[  (3x + 5)³ ]  + c 

Gruß Wolfgang

Answer 3

 2.

oh meinte eigenltich das alle unter bruchtstrich stehen

Also vielleicht so: 

f(x) =   4/(x+2-3x) = 4/(2-2x) = 2/(1-x)

u(x) = 1-x 

du/dx = -1 

-1 * du = dx 

∫  2/(1-x) dx = ∫ 2/u (-1) du  

= -2 ∫ u^{-1} du

= - 2 ln |u|  + C

= - 2 ln | 1-x| + C 

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+4%2F(x%2B2-3x)+dx