Integrale Konvergenz überprüfen. Bsp. von f(x) = x/√(1-x^2) integrieren von x=0 bis x=1

Question

Hey:)

Wollte mal fragen, ob das bisher alles passt:

i) konvergiert gegen den Grenzwert 1

ii) konvergiert nicht

iii)  Da komm ich nicht voran

Bsp. von f(x) = x/√(1-x^2) integrieren von x=0 bis x=1  

Comments

Bitte Formeln als TeX eingeben, damit es die Antwortenden leichter haben. Danke.

Hilfe: https://www.matheretter.de/rechner/latex

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Formeln als TeX eingeben, damit es die Antwortenden leichter haben

Bitte um Aufklärung, worin die Erleichterung besteht.

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Klartext mit genügend Klammern ist deutlich einfacher.

Aber TeX ist besser als Bilder.

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Rechte Maustaste auf die Formeln → Zeige mathematische Ausdrücke als → TeX Befehle, dann TeX kopieren.

Dann TeX in die Antwort einfügen und damit weiterarbeiten.

Es erspart u. a. das Abtippen der Grafik als Latex.

Zudem können Suchmaschinen (es gibt auch wissenschaftliche) Latex auf Webseiten lesen. Und unsere interne Suchmaschine kann ebenfalls hierfür genutzt werden.

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Danke für die Antwort.

Es folgt ein Test (aus https://www.mathelounge.de/451853/beweis-uneigentliche-integrale-grenzwert-null?show=454597#c454597) :

Sieht das dann so aus
(a)\quad\int_0^af(x)\,dx\ge af(a)\ge0

oder so
$$(a)\quad\int_0^af(x)\,dx\ge af(a)\ge0$$

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Danke ebenfalls für die Anleitung.

Wenn ich nicht höllisch aufpasse, komme ich mit der rechten Maustaste zu einem absolut weissen Bildschirm mit:

Komme ich da anders wieder hinaus als mit Abwürgen des Compis?

Answer 1

Hi,
(i) ist ok.
(ii) Eine Stammfunktion von \( x^2 e^{-\frac{x}{2}} \)ist \( -2 e^{-\frac{x}{2}}\left( x^2 +4x+8 \right) \) deshalb konvergiert das Integral gegen 16
(iii) Das Integral konvergiert gegen \( \frac{\pi}{2} \)

Comments

Was macht man genau bei der iii) weil die Stammfunktion bilden, ist doch recht kompliziert

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Das ist ganz simpel. Einfach \( z = \ln(x) \) substituieren und dran denken das \( \arcsin(x) \) eine Stammfunktion von \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  \) ist. Und noch die Integrationsgrenzen richtig transformieren.

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Hast du noch mir einen Tipp für die b?

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Zweimal partiell integrieren. Beim erstenmal mit \( u' = e^{-\frac{x}{2}} \) und \( v = x^2 \). Das zweitenal entsprechend angepasst.