Zeigen Sie: a,b,c aus Z, c != 0 mit c | a und c !| b , dann gilt c !| (a+b).

Question

Hier nochmal die Aufgabe in Ordentlich:

a, b, c ∈ ℤ , c ≠0

mit c | a (c teilt a) und  c !| b (c teilt nicht b)

 Zu Zeigen: Dann gilt: c !| a+b  (c teilt nicht a+b) 

Mein Beweisansatz geht in folgende Richtung:

a = c*x und b ≠ c*x  

b = d*x

Wenn c | a und c !| b dann c !|(a+b)

Durch meine Darstellung für a und b gilt also:

c !| (a+b)

c !| (c*x + d*y)

c !| (c*x) + (d*y)

Hier lässt sich erkennen, das c zwar (c*x) teilt, nicht aber (d*y), da d*y = b und c!|b

 Beim teilen bleibt also (d*x) übrig.

Ist meine Annahme korrekt bzw. der Beweis schlüssig/richtig geführt? 

Wenn nicht, in welche Richtung sollte ich es eher versuchen?

Beste Grüße

Beetroot

Answer 1

Vielleicht durch Widerspruchsbeweis noch klarer:

Angenommen c teilt (a+b)

dann gibt es x aus Z mit x*c = a+b  #

wegen c | a gibt es y aus Z mit y*c = a

also ergibt #       x*c = y*c + b

<=>   x*c - y*c =  b


<=>   (x-y)*c  =  b     ##

wegen x aus Z und y aus z ist auch x-y aus Z,

also sagt ##  aus:  c teilt b im Widerspruch zur Voraussetzung.

Bei deiner Version

Mein Beweisansatz geht in folgende Richtung:

a = c*x und b ≠ c*x   würde ich jedenfalls ergänzen:

Es gibt ein x aus Z , aber für alle  y aus Z gilt

a = c*x und b  ≠  c*y  

Comments

Allerbesten Dank für die Antwort. Ich hatte auch über einen Widerspruchbeweis nachgedacht, dann aber verworfen (wieso eigentlich?).

Ich hab mir deinen Beweis zum Verständnis nochmal aufgeschrieben: er ist nachvollziehbar, schlüssig und gefällt mir besser als meiner. Insgesamt sehr hilfreich.

Eine Frage noch zu meinem Beweis: 

Ist er für jemanden der drauf schaut, nachvollziehbar? (Nur so zur Selbsteinschätzung)

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wie gesagt:  Du benutzt 2 mal das x für unterschiedliche

Sachen , also einmal x und einmal y verwenden.

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Ah, nicht bemerkt, das ich hier 2 mal x verwendet hab. In meinem Original auf Papier ist es ein y. Damit wäre für mich alles klar. Besten Dank.