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Beweisen sie die Aussage:


p(1-p)<=1/4 für p € [0;1]
Bitte helft mir ich bin am verzweifeln!
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Tipp: Es ist \(\left(p-\frac12\right)^2\ge0\).

2 Antworten

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p(1-p)<=1/4

p - p2 <= 1/4

0 <=  p2    -  p  +1/4

0 <=  (p-1/2)2   

und weil ein Quadrat nie negativ ist, gilt das sogar für alle p, nicht

nur zwischen 0 und 1.

Kannst auch den Graphen der Funktion  x*(1-x) anschauen:

Verläuft nie oberhalb von 1/4.

~plot~ x*(1-x); 1/4 ~plot~

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Hallo CB

p * (1- p)  <= 1/4     für p € [0;1]  


⇔  p - p2  - 1/4  ≤ 0    | * (-1)  

⇔  p2 - p + 1/4 ≥ 0

⇔  p2 - 2 * 1/2 * p + (1/2)2  ≥ 0
               2. binomische Formel:   

⇔  (p -1/2)2 ≥ 0      und das ist wahr für alle p∈ℝ

Gruß Wolfgang 
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