Wie beweise ich eine Ungleichung? p(1-p) ≤ 1/4

Question

Beweisen sie die Aussage:

p(1-p)<=1/4 für p € [0;1]
Bitte helft mir ich bin am verzweifeln!

Comments

Tipp: Es ist \(\left(p-\frac12\right)^2\ge0\).

Answer 1

p(1-p)<=1/4

p - p² <= 1/4

0 <=  p²    -  p  +1/4

0 <=  (p-1/2)²   

und weil ein Quadrat nie negativ ist, gilt das sogar für alle p, nicht

nur zwischen 0 und 1.

Kannst auch den Graphen der Funktion  x*(1-x) anschauen:

Verläuft nie oberhalb von 1/4.

~plot~ x*(1-x); 1/4 ~plot~

Answer 2

Hallo CB

p * (1- p)  <= 1/4     für p € [0;1]  

⇔  p - p²  - 1/4  ≤ 0    | * (-1)  

⇔  p² - p + 1/4 ≥ 0

⇔  p² - 2 * 1/2 * p + (1/2)²  ≥ 0
               2. binomische Formel:   

⇔  (p -1/2)² ≥ 0      und das ist wahr für alle p∈ℝ

Gruß Wolfgang