allgemeine Lösung Differentialgleichungen

Question

 

Ich bin jetzt bei aufgabe (ii). Bei der (i) habe ich als allg. lösung y(x)=c1*e^{x+2jx}+c2*e^{x-2jx} raus.

Nun was muss ich bei ii machen ? Wonach ist gefragt ?

Würde mich über Hilfe freuen

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y''-2y'+5y = 0

x^2-2x+5 =0

pq Formel

x=1+- wurzel (1-5)

x= 1+j2

y(x)=e^x*(c1*cos(2x)+c2*sin(2x)

Das ist für i)

Answer 1

Wir haben die allgemeine Lösung $$y(x)=c_1e^{x+2jx}+c_2e^{x-2jx}$$ Zwei verschiedene Lösungen sind dann also $$y_1(x)=e^{x+2jx} \ \text{ und } \ y_2(x)=e^{x-2jx}$$

Comments

Danke für die antwort. Bei( iii) muss ich da y(0) bei der allg. lösung einsetzen oder bei der reellen lösung ?

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Das y(0)=0 setzen wir in der allg. Lösung ein und so finden wir den Wert eins der Konstante c₁ oder c₂. 

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Ok danke. Das habe ich gemacht und habe die lösung c1=-c2 raus. Genügt das als lösung ?

Bei (iv) soll man y'(0)=0 setzen .... wie finde ich y' raus ?

Danke für die Antwort

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Da c₁ = -c₂  bekommen wir die folgende Lösung: $$y(x)=c_1e^{x+2jx}-c_1e^{x-2jx}=c_1\left(e^{x+2jx}-e^{x-2jx}\right)=c_1e^x\left(e^{2jx}-e^{-2jx}\right)$$

Von der Eulersche Formel haben wir dass $$e^{a\pm bj}=e^a\left(\cos b \pm j\sin b\right)$$ 
Die allgemeine Lösung kann man auch folgenderweise schreiben: $$y=c_1e^{x+2jx}+c_2e^{x-2jx} \\ =c_1e^x\left(\cos (2x) + j\sin (2x)\right)+c_2e^x\left(\cos (2x) - j\sin (2x)\right) \\ =e^x\left(c_1\left(\cos (2x) + j\sin (2x)\right)+c_2\left(\cos (2x) - j\sin (2x)\right)\right) \\ =e^x\left(\left(c_1+c_2\right)\cos (2x) +  j\left(c_1-c_2\right)\sin (2x)\right) \\ =e^x\left(C_1\cos (2x) +  C_2\sin (2x)\right) $$ wobe C₁=c₁+c₂ und C₂=j(c₁-c₂ ). 

Die zwei verschiedene Lösungen sind dann $$y_1(x)=e^x\cos x \ \text{  und } \ y_2(x)=e^x\sin x$$ 
Wenn y(0)=0, also wenn c₁ = -c₂ bekommen wir dann $$y(x)=e^x\left(-C_2\cos (2x) +  C_2\sin (2x)\right) =C_2e^x\left(-\cos (2x) +  \sin (2x)\right) $$ 

Um y'(x) zu bekommen, leiten wir die $$y(x)=e^x\left(C_1\cos (2x) +  C_2\sin (2x)\right) $$
 einmal ab und wenden dazu die Produktregel an:  
$$y'(x)=\left(e^x\right)'\cdot \left(C_1\cos (2x) +  C_2\sin (2x)\right) +e^x\cdot \left(C_1\cos (2x) +  C_2\sin (2x)\right) '$$ 

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Kannst du mir Bitte sagen wie du auf deine allgemeine Lösung kommst?

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Wir benutzen den Ansatz $$y=Ce^{\lambda x}$$ Wenn wir dann zweimal ableiten bekommen wir : $$y'(x)=\lambda Ce^{\lambda x} \ ,\  y''(x)=\lambda^2Ce^{\lambda x}$$ Wenn wir das dann in der Differentialgleichung einsetzen bekommen wir $$\lambda^2Ce^{\lambda x}-2\lambda Ce^{\lambda x}+5Ce^{\lambda x}=0 \Rightarrow Ce^{\lambda x} \left(\lambda^2-2\lambda +5\right)=0$$ Diese Gleichung wird erfüllt genau dann, wenn $$\lambda^2-2\lambda +5=0$$ Wir berechnen dann die Lösungen dieser Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel. Wir bekommen dass die Diskriminante negativ ist, die Lösungen sind also komplex. Wir bekommen die Lösungen $$\lambda_1=1-2i \ \text{ und } \ \lambda_2=1+2i$$ Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist dann $$y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2 x}$$

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Weißt du, ob das für y'(0) = 0 das ergebnis c2=-c1/2 richtig ist ? Und weißt du sie man y'(0) ungleich Null rechnen soll ?

Vielen Dank für die Antworten davor

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Wir haben dass $$y'(x)=e^x\cdot \left(C_1\cos (2x) +  C_2\sin (2x)\right) +e^x\cdot \left(-2C_1\sin (2x) +  2C_2\cos (2x)\right) \\ = e^x\cdot \left(C_1\cos (2x) +  C_2\sin (2x)-2C_1\sin (2x) +  2C_2\cos (2x)\right) \\ = e^x\cdot \left(\left(C_1+2C_2\right)\cos (2x) +  \left(C_2-2C_1\right)\sin (2x)\right) $$

$$y'(0)=0 \Rightarrow e^0\cdot \left(\left(C_1+2C_2\right)\cos (2\cdot 0) +  \left(C_2-2C_1\right)\sin (2\cdot 0)\right) =0 \\ \Rightarrow \left(C_1+2C_2\right)\cdot 1+  \left(C_2-2C_1\right)\cdot 0=0 \\ \Rightarrow C_1+2C_2=0 \\ \Rightarrow C_2=-\frac{C_1}{2}$$

Die Lösung ist dann $$y(x)=e^x\cdot \left(C_1\cos (2x) -\frac{C_1}{2}\sin (2x)\right)=\frac{C_1}{2}e^x\cdot \left(2\cos (2x) -\sin (2x)\right)$$

Für die Bedingung y'(0) ≠ 0 haben wir folgendes: 

Wir haben dass $$y'(x)= e^x\cdot \left(\left(C_1+2C_2\right)\cos (2x) +  \left(C_2-2C_1\right)\sin (2x)\right) $$

$$y'(0)\neq 0 \Rightarrow e^0\cdot \left(\left(C_1+2C_2\right)\cos (2\cdot 0) +  \left(C_2-2C_1\right)\sin (2\cdot 0)\right) \neq 0 \\ \Rightarrow \left(C_1+2C_2\right)\cdot 1+  \left(C_2-2C_1\right)\cdot 0\neq 0 \\ \Rightarrow C_1+2C_2\neq 0 \\ \Rightarrow C_2\neq -\frac{C_1}{2}$$

Die Lösung ist dann $$y(x)=e^x\cdot \left(C_1\cos (2x) +C_2\sin (2x)\right)$$ für jede Werte der Konstanten C₁ und C₂ die die Ungleicheit C_2 ≠ -C₁/2 erfüllen. Zum Beispiel für C₁=C₂ bekommen wir $$y(x)=e^x\cdot \left(C_1\cos (2x) +C_1\sin (2x)\right)=C_1e^x\cdot \left(\cos (2x) +\sin (2x)\right)$$