Einzige Unterräume des R sind die trivialen

Question

Ich soll zeigen, dass die einzigen Unterräume des R der R selbst, sowie {0} ist. 

Das es sich bei R und {0} um Unterräume handelt, habe ich schon mit Hilfe des Unterraumkriteriums gezeigt. Jetzt kommt aber der eigentliche Knackpunkt. Wie zeige ich, dass es keine weiteren gibt? Das müsste doch über die Abgeschlossenheit gehen!? Kann mir vielleicht jemand einen Ansatz zeigen? 

Answer 1

> Das müsste doch über die Abgeschlossenheit gehen.

Ja. Sei U ein Unterraum von ℝ und u∈U mir u≠0 und r∈ℝ. Dann ist r = r/u · u. Wegen r/u ∈ ℝ ist dann auch r∈U, also U = ℝ.

Übrigens hätte es sich hier gelohnt, tatsächlich anzugeben, dass ℝ als ℝ-Vektorraum aufgefasst wird, das heißt, dass ℝ der zugrunde liegende Körper ist. Legst du zum Beispiel ℚ als Körper zugrunde, dann ist {r+s√2 ∈ ℝ | r,s ∈ ℚ} ein nicht-trivialer Untervektorraum von ℝ.