Polynom dritten Grades. H(6|0) … Funktionsterm ermitteln

Question

Gegeben ist ein Graph einer Polynomfunktion 3. Grades. Aus den Extrempunkten sollen wir den Funktionsterm ermitteln. H(6/0) und T(0/-13,5).

f(6)=0

f'(6)=0

f(0)=-13,5

f'(0)=0

d ist ja ganz einfach abzulesen bei f(0)=-13,5, aber ich finde keinen Weg, wie ich c ablesen kann. 

Answer 1

f(6)=0

f'(6)=0

f(0)=-13,5

f'(0)=0

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c*x + d
f(0)=-13,5
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c*x  -13.5

f ´( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x + c

Die Aussagen einsetzen
f ( 6 ) = a * 6^3 + b * 6^2 + c*6  -13.5 = 0
f ´( 6 ) =  3 * a * 6^2 + 2 * b * 6 + c = 0

f ´( 0 ) = 3 * a * 0^2 + 2 * b * 0 + c = 0 => c = 0

f ( 6 ) = 216 * a + 36 * b  -13.5 = 0
f ´( 6 ) = 108 * a  + 12 * b = 0

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.

Comments

Zur Kontrolle
f ( x ) = -0,125·x^3 + 1,125·x^2 - 13,5

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Genau bei "f ´( 0 ) = 3 * a * 0² + 2 * b * 0 + c =0 => c = 0" hab ich es dann kapiert. Bleibt ja nur c übrig. Mit c und d sind a und b dann einfach. danke dir Georg

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Auch wenn diese Aufgabe sich vereinfacht durch
d = -13.5 und c = 0 bleibt der Lösungsweg immer
derselbe

Aussagen aufschreiben

f(6)=0

f'(6)=0

f(0)=-13,5

f'(0)=0

f ( x ) = a * x³ + b * x² + c*x + d
f ´( x ) = 3 * a * x² + 2 * b * x + c

Einsetzen: alle 4 Aussagen. z.B.
f ( 6 ) = a * 6³ + b * 6² + c*6 + d  = 0

216·a + 36·b + 6·c + d = 0
108·a + 12·b + c = 0
d = -27/2
c = 0

Dann das Gleichungssystem mit 4 Gleichungen
und 4 Unbekannten lösen.

Answer 2

Mach den Ansatz f(x)=ax³+bx²+cx+d und setze ein

f(6)=0; f(0)=-13,5

Leite ab f '(x)=3ax²+2bx+c und setze ein

f'(0)=0; f'(6)=0

Löse das System von 4 Gleichungen mir 4 Unbekannten.

Answer 3

d ist ja ganz einfach abzulesen bei f(0)=-13,5, aber ich finde keinen Weg, wie ich c ablesen kann. 

Weil die Tangente bei x=0 die Steigung 0 hat und cx der Teil der Gleichung ist, an dem du die Steigung bei x=0 ablesen kannst, gilt c = 0. 

Zusammen mit deiner ersten Überlegung, kannst du Aufgrund von T(0|-13.5) schon sagen, dass cx + d = 0*x - 13.5 ist.

Also c=0 und d=-13.5