Ebene Schnittgerade herausfinden? Aber die Lösung stimmt bei mir nicht...

Question

Hey

brauche Hilfe... Ich bereite mich auf eine Prüfung vor. In der Aufgabe wird nach Schnittgerade nachgefragt, aber ich bekomme ständig die falschen ''Ergebnisse'' raus...habe so viele Methoden ausprobiert... ich würde mich sehr freuen wenn jemand das vorrechnen könnte wie man auf die Lösung kommt. Damit ich die einzelnen Schritte selber nochmal durchgehen kann

Danke euch aufjedenfall voraus :D

MfG.

Aufgabe:

Lösung:

Answer 1

Hallo mistermathe,    

das Folgende  ist besonders dann geeignet, wenn eine oder beide Ebenen in Normalenform gegeben sind . Bei zwei Parameterformen ist Mathefs Lösung wohl etwas schneller.     

Normalenvektor von E₁ :        [0, 2, 1] ⨯ [-1, 4, 0]  =  [-4, -1, 2]  =  \(\vec{n_1}\)

Koordinatenform von E₁ :   [-4, -1, 2]  * \(\vec{x}\) -  [-4, -1, 2]  *  [1, 4, 3] = -2

                        - 4x₁ - x₂ + 2x₃ = -2:    

Normalenvektor von E₂ :        [3, 3, 2] ⨯ [2, 1, -1]  =  [-5, 7, -3]   =  \(\vec{n_2}\)

Koordinatenform von E₂ :       [-5, 7, -3]  *  \(\vec{x}\) - [-5, 7, -3] * [6, 4, 2]  = 0

                       - 5x₁ + 7x₂ - 3x₃ = -8

 \(\vec{n_1}\) x \(\vec{n_2}\)  =  [-11, -22, -33]  =  (-3) * [1, 2, 3]  und damit  [1, 2, 3]  sind Normalenvektoren der Schnittgerade g_S

Zur Bestimmung eines Aufpunkts von g_S hat man das LGS

 - 4x₁ - x₂ + 2x₃ = -2   und  - 5x₁ + 7x₂ - 3x₃ = -8   

Wählt man z.B.  x₂ =  0,   erhält man aus 

- 4x₁ + 2x₃ = -2   und - 5x₁  - 3x₃ = -8     

    x₁ = 1   und  x₃ = 1    →   Aufpunkt (1|0|1)

g_S :    \(\vec{x}\)  =    \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)  +  r  *   \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\)     

Gruß Wolfgang

Answer 2

Gleichsetzen gibt

$$\begin{pmatrix} 1\\4 \\3\end{pmatrix}+ R* \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix}+S* \begin{pmatrix} 1-\\4\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6\\4 \\2\end{pmatrix}+ a* \begin{pmatrix} 3\\3\\2 \end{pmatrix}+b* \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix}$$
$$ R* \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix}+S* \begin{pmatrix} 1-\\4\\0 \end{pmatrix}- a* \begin{pmatrix} 3\\3\\2 \end{pmatrix}-b* \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5\\0 \\-1\end{pmatrix}$$

und nun daraus eine Gleichung basteln, in der nur a und b oder nur r und s vorkommen:

zum Beispiel 3. Zeile  ist ja  

              r = 2a  -b - 1 und

1. Zeile gibt   s = -5 -2b - 3a

Beides in die zweite einsetzen und zusammenfassen gibt   a= -b-2

Das in die Ebenengleichung mit a und b eingesetzt gibt

$$ X = \begin{pmatrix} 6\\4 \\2\end{pmatrix}+ (-b-2)* \begin{pmatrix} 3\\3\\2 \end{pmatrix}+b* \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix}$$

zusammenfassen gibt


$$ X = \begin{pmatrix} 0\\-2 \\-2\end{pmatrix}+b* \begin{pmatrix} -1\\-2\\-3 \end{pmatrix}$$

Das sieht jetzt zwar anders aus als die Lösung, ist aber die gleiche Gerade.