Approximieren einer e-Funktion

Question

hallo ihr lieben,

ich komme leider bei dieser Aufgabe nicht weiter. Hat einer von euch eine Idee?

Gegeben sei die Funktion $$f(x)={ e }^{ 2x }-4{ e }^{ x }+2$$ Begründen Sie warum die Funktion im Intervall [0,2] eine Nullstelle besitzt und approximieren Sie diese mit einem geeigneten Verfahren mit einer Genauigkeit von

ε $$=\frac { 1 }{ 4 } $$.

Danke und eine schöne Nacht euch allen!

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~plot~ x^{2}-4x+2=y ; g= e^{2x}-4e^{x}+2~plot~

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Mit sub.  z=e^{x}

Löst du die Gleichung

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http://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion/

Hier siehst du es nochmal besser

Taylorpolonym kommt :)

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Ohne Gewähr :)

Answer 1

Eigentlich soll ja wohl nur eine Nullstelle durch Approximation gefunden werden. Dafür bieten sich unterschiedliche Verfahren an (Newtonverfahren, Regula Falsi u,a.). Man kann natürlich auch zunächst die Funktion approximieren (Taylor) und die Nullstelle der approximierten Funktion berechnen. Dann wird es aber schwierig, die Genauigkeit zu prüfen. Schließlich kann man auch die Nullstelle (irrational) ausrechnen und den errechneten Wert approximieren (vermutlich am einfachsten).

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Hmmm.... kommt drauf an, ob man bei "approximieren Sie diese" die Funktion im Intervall oder die Nullstelle gemeint hat.

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"diese" bezieht sich in der Regel auf das, was im Text zuletzt genannt wurde. Das ist hier die Nullstelle. Die Überschrift widerspricht dieser Interpretation (muss aber nichts heissen, da wohl nicht wörtlich widergegeben)

Answer 2

Hier ist die Funktion

mit Nullstelle im gewünschten Intervall bei x = ln (2 + √3) ≈ 1,317.

Dann habe ich mal die Funktion mit den Taylor-Polynomen 2. und 7. Ordnung dargestellt:

doch auch beim Taylor-Polynom 7. Ordnung ist die maximale Abweichung im Intervall noch größer als 1/4:

Also braucht es ein Taylor-Polynom höherer Ordnung. Schon beim Polynom 8. Ordnung funktioniert es.

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Es müsste x= ln( 2 + wurzel(2)) sein :)