Rekonstruktion von Funktionen

Question

Gesucht ist eine Polynomfunktion zweiten Grades, welche die y-Achse bei y=-2,5 schneidet und einen Hochpunkt bei H(3/2) besitzt.

Answer 1

Polynomfunktion 2. Grades: ax^2+bx+c

1. Ableitung ist also 2ax+b

f(0) = -2,5 ("y-Achse bei y=-2,5 schneidet")

f(3) = 2 (Hochpunkt bei H(3/2))

f'(3) = 0 (Hochpunkt ist eine Nullstelle der 1. Ableitung)

=> drei Gleichungen:

-2,5 = a*0^2+b*0+c = c

2 = a*3^2+b*3+c

0 = 2*a*3+b

 

Nach Auflösen der Gleichungen erhält man für a,b,c:

a = -0,5; b = 3; c = -2,5

Die Funktion ist also -0,5x^2+3x-2,5

Answer 2

Die Scheitelpunktform der Parabel mit dem Scheitel bei S(Sx | Sy) lautet

f(x) = a * (x - Sx)² + Sy = a * (x - 3)² + 2

Bleibt nur noch den Öffnungsfaktor a zu bestimmen. Kennen wir neben dem Scheitelpunkt noch einen weiteren Punkt P(Px | Py) der Parabel können wir den Öffnungsfaktor wie folgt bestimmen:

a = (Py - Sy) / (Px - Sx)² = (-2,5 - 2) / (0 - 3)² = -4,5 / 9 = -0,5

Damit lautet dann die Scheitelpunktform wie folgt:

f(x) = -0,5 * (x - 3)² + 2

Man kann es auch noch ausmultiplizieren:

f(x) = -0,5 * (x² - 6x + 9) + 2 = -0,5x² + 3x - 2,5