globales Maximum/Minimum berechnen. f: [-5,5] -> R, mit f(x)=55x-20x3+x5

Question

Wir betrachten die Funktion f: [-5,5] -> R, mit f(x)=55x-20x³+x⁵ 
a) Entscheiden Sie ob die Funktion f ein globales Maximum/Minimum besitzt. versuchen sie hierzu nicht, die selbigen erst auszurechnen. Begründen Sie ihre Entscheidung. 
b) Berechnen Sie sämtliche Extrems der Funktion f. Entscheiden Sie hierbei jeweils (begründet) ob es sich um ein lokales oder globales Maximum/Minimum handelt. 

habe hauptsächlich Probleme bei der a) da ich nicht genau weiß wie ich der Funktion ansehen kann ob sie ein globales Maximum oder Minimum besitzt.  
Danke für die Hilfe :)

Answer 1

Da sind nur ungerade Exponenten. Solche Potenzfunktionen gehen grundsätzlich "von unten links nach oben rechts" (oder umgekehrt) und haben somit keine globale Extremstelle.

Bei deinem Beispiel hat x⁵ den größten Einfluss, und da wird bei negativen Argumenten der Funktionswert negativ, bei positiven Argumenten positiv ("minus mal minus mal minus gleich minus").

Comments

...quod erat demonstrandum.

Answer 2

Die Begriffspaarung "lokal" und "global" ist etwas unglücklich gewählt. Vielleicht wäre es günstiger, hier von "relativen" und "absoluten" Extremwerten zu sprechen.

Doch wie dem auch sei, hier gilt: Das Bild eines abgeschlossenen Intervalls unter einer stetigen Funktion ist ein abgeschlossenes Intervall und dieses besitzt ein Minimum und ein Maximum. Daher nimmt die vorliegende Funktion f absolute Extremwerte an.