Eigenschaften von empirischer Kovarianz zeigen

Question

Aufgabe:

Zu zeigen ist, dass:

1) Cov(a*X +Y,Z) =a*Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)

Mein Ansatz: Cov(...)=E[(ax+Y)-E[aX+Y])*(Z-E[Z])]

=E[(aX+Y)*Z-(aX+Y)*E[Z]-E[aX+Y]*Z+E[aX+Y]*E[Z]]

2) SUMME (x_i-x_n)*(y_i-y_n)=SUMME (x_i*y_i-n*x_n*x_n)

xn bzw. yn ist der Mittelwert

Ich kann von der linken Summe zwar erst mal die klammer auflösen, komme dann aber einfach nicht weiter.

Answer 1

Zu (1)
$$ \text{Cov}(aX+Y,Z)=\text{E}[ (aX+Y)Z ] - \text{E}[ (aX+Y) ] \text{E}[Z] = \\ a \text{E}[XY ] + \text{E}[YZ] - a \text{E}[X] \text{E}[Z] - \text{E}[Y] \text{E}[Z] = a \text{Cov}[XY] + \text{Cov}[YZ] $$

Zu (2)
$$ \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})(y_i-\overline{y}) = \sum_{i=1}^n [ x_i y_i - x_i \overline{y} -y_i \overline{x} + \overline{x} \overline{y}   ] = \sum_{i=1}^n x_i y_i - n \overline{x}  \overline{y} $$

Comments

hey danke!!

zu 2)

soweit hatte ich es ja auch, aber was machst du denn mit  - x*y_n - y*x_n  (hinter dem zweiten summenzeichen?)

gruß

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$$  \sum_{i=n}^n x_i \overline{y} = \overline{y} \sum_{i=1}^n x_i = n \overline{x} \overline{y} $$

wegen $$ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i $$

Und das gleiche für \( \overline{y} \)

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macht sinn ;)

vielen lieben dank!!