Definitionsbereich angeben Jacobi-Matrix für g(x,y) = (2arctan(y/x), 2 ln√(x^2 + y^2))

Question

Hey:)

Hab die Aufgabe gegeben und wollte den maximalen Defintionsbereich angeben.

Für f: ℝ²-> ℝ²

Für g: weiß ich leider nicht. Der ln ist ja definiert für alle ℝ, x>0 und beim arctan?

Würde mich über eure Hilfe freuen

Comments

es fehlen die Funktionsvorschriften

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Sorry, hab vergessend ad hochzulafen 

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Versteht die keiner?

Answer 1

Hallo Sonnenblume,

g:  { (x,y) ∈ ℝ² |   x ≠ 0 } → ℝ²    ,   f: ℝ² → ℝ  , also  g(D_g) ⊂  D_f

(i)

h(x,y)  =  (fog) (x,y)  =  f(g(x,y)) 

h(x,y)  =  4·arctan(y/x)² + 4·ln(√(x² + y²))² 

Edit: (vgl. meinen Kommentar)  

[ h(x,y) =  4·arctan(y/x)² + 2·ln(x² + y²)  war leider eine falsche Umformung ]

D_h  =  { (x,y) ∈ ℝ² |   x ≠ 0 }

Damit ändert sich auch der Rest:

 h_x  =  4·x/(x² + y²) - 8·y·arctan(y/x) / (x² + y²)   

h_x(x,y)  =  4·x·LN(x² + y²)/(x² + y²) - 8·y·ATAN(y/x)/(x² + y²)

h_y  =  8·x·arctan(y/x) / (x² + y²) + 4·y / (x² + y²)

h_y(x,y)  =  8·x·ATAN(y/x)/(x² + y²) + 4·y·LN(x² + y²)/(x² + y²)

Jacobimatrix  J_h(a)  =  ( h_x(a)    h_y(a) )    , a ∈ D_h

(ii)

Tangentialebene:   z  =  h(2,0) + h_x(2,0) *(x-2) + h_y(2, 0) *(y-0)

z  =  8 * ln(2)² +  2 * (x - 2) + 0 * y

z  =  4 * ln(2)² + 4*ln(2)*(x-2) + 0 * (y-0)

z  =  2x  + 8 · ln(2)² - 4   

z  =  4 * ln(2)² + 4*ln(2)*(x-2) 

(iii) 

grad( (h) )  =   ( h_x , h_y )   (Vektor)

grad(h) (2,0) =  ( 4*ln(2) , 0)    Richtung des stärksten Anstiegs

 | (2,0) | = √(4*ln(2)² + 0²)  = 4*ln(2)   Betrag des steilsten Anstiegs

Gruß Wolfgang

Comments

Hi Wolfgang :)

Wie kommst du hier auf das 4x und das -8y?

h_x  =  4·x/(x² + y²) - 8·y·arctan(y/x) / (x² + y²)

Gruß Sonnenblume

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 4·arctan(y/x)² + 2·ln(x² + y²)

Ableiten nach x:  (die Summanden bei h_x sind vertauscht)

2·ln(x² + y²)  →   2 * 1/(x² + y²)  * 2x = 4x /  (x² + y²) 

 4·arctan(y/x)² 

→  4 * 2* arctan(y/x) * 1 / (1+(y/x)²)  (-y/x²)  

          = - 8y / x² * 1/((x²+y²)/x²) * arctan(y/x) 

          =   - 8y * arctan(y/x) / (x²+y²)

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→Woher kommt das (-y/x²)? 

Weil müsste es nicht eigentlich (-y²/x) heißen?

  4 * 2* arctan(y/x) * 1 / (1+(y/x)²)  (-y/x²)  

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das ist die innere Ableitung von arctan(y/x) nach x  (y konstant)

[ y/x ] '  = y * (-1) /x²  = - y / x²

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Wohin verschwindet das /x^2?

→  4 * 2* arctan(y/x) * 1 / (1+(y/x)²)  (-y/x²)  

          = - 8y / x² * 1/((x²+y²)/x²) * arctan(y/x) 

          =   - 8y * arctan(y/x) / (x²+y²)

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 - 8y / x² * 1 / ( (x²+y²)/x² ) * arctan(y/x) 

=   - 8y / x²  * x² / (x²+y²) * arctan(y/x) 

dann kürzt sich x² einfach weg.

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Bei der Tangentialebene müsste es da nicht 2ln(4) statt dem 8ln(2)² heißen?

Weil arctan(0/2)^2 =0 und 2ln(4+0)

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Aus irgendeinem Grund habe ich für

h(x,y) = 4·arctan(y/x)² + 4·ln(√(x² + y²))²  

die falsche Umformung 4·arctan(y/x)² + 2·ln(x² + y²)  übertragen. 

(Sorry, ich habe - wegen deines verzweifelten Hilferufs :-) - mit dem Handy geantwortet. Das ist ziemlich unübersichtlich und ungewohnt und ich hoffe, dass es jetzt richtig ist)

Damit ändert sich leider noch mehr:

h_x(x,y)  =  4·x·ln(x^2 + y^2)/(x^2 + y^2) - 8·y·arctan(y/x)/(x^2 + y^2)

h_y(x,y)  =  8·x·arctan(y/x)/(x^2 + y^2) + 4·y·ln(x^2 + y^2)/(x^2 + y^2)

h(2,0)  =  4 * ln(2)² 

h_x(2,0)  =  2* ln(4)  =  4 *ln(2) 

h_y(2,0)  =  0

Tangentialebene:  z  =  4 * ln(2)² + 4*ln(2)*(x-2) + 0 * (y-0)

                             z  =  4 * ln(2)² + 4*ln(2)*(x-2) 

grad_h (2,0)  =  (4*ln(2) , 0)  Richtung des stärksten Anstiegs

| (4*ln(2) , 0) |  =  4*ln(2)     Betrag des steilsten Anstiegs

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Müsste nicht

h_x(2,0)  =  2* ln(4)  =  4 *ln(2)  nicht eigentlich

8*ln(4) heißen?

Wegen 4x*ln(x^2)?

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Hab das obige Problem gelöst.

Wie kommst du jetzt auf

4·x·ln(x² + y²)/(x² + y²)?

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Ich nehme an, du meinst

 h(x,y) = 4·arctan(y/x)² + 4·ln(√(x² + y²))²  

h_x(x,y)  =  4·x·ln(x² + y²) / (x² + y²) - 8·y·arctan(y/x) / (x² + y²)

[ 4·ln(√(x² + y²))² ]_x^'  

        Du kannst z.B. mehrfach die Kettenregel anwenden:

=  4 * 2 * ln(√(x² + y²)) * [ ln(√(x² + y²)) ]_x^'

               [ ln(u) ] ' = 1/u * u'

=  8 * ln(√(x² + y²)) * 1 / (√(x² + y²) * [ √(x² + y²) ]_x^' 

              √u = u^1/2    

=  8 * ln( (x² + y²)^1/2 ) * 1 / (√(x² + y²) * [ √(x² + y²) ]_x^' 

         Logarithmensatz:  ln(u^r) = r * ln(u) ,    [ √u ] ' =  1 / (2*√u) * u^'

=  8 * 1/2 * ln((x² + y²)) * 1 / (√(x² + y²) * 1 / ( 2*√(x² + y²) ) * [ x² + y² ]_x' 

=  4 * ln((x² + y²))  * 1 / (√(x² + y²) * 1 / ( 2*√(x² + y²) ) * 2x

          durch 2 kürzen und zusammenfassen

=  4 * x * ln(x² + y²) / (x² + y²)