Was habe ich bei der Partialbruchzerlegung falsch gemacht?

Question

Ich rechne schon seit langer Zeit an dieser Aufgabe und komme nicht auf das richtige Ergebnis.

Hier soll eine Partialbruchzerlegung durchgeführt werden

(x^3)/(x^2-4)

Ich bin so vorgegangen :

(x^3)/((x+2)/(x-2)

(a)/((x+2) + (b)/((x-2)

(a) * (x-2)/((x+2)(x-2) + (b) * (x+2))/((x-2)(x+2))

(ax -2a + bx + 2b)/((x-2)(x+2)

(ax + bx + 2b-2a)/((x-2)(x+2)

(x(a+b) + 2b-2a)/((x-2)(x+2)

Koeffizientenvergleich :

(I) a+b = 3

(II) 2b-2a = 0

Ich werde das Gefühl nicht los, dass ich bei der letzten Aufgabe beim Koeffizientenvergleich etwas falsch mache.

Danke !

 

Answer 1

                                                              

Comments

Vielen Dank für deinen ausführlichen Rechenweg.

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kein Thema  :-)

Answer 2

Es ist $$ \dfrac{x^3}{x^2-4} = \dfrac{x^3-4x+4x}{x^2-4} = x + \dfrac{4x}{x^2-4} $$

Ps: Fehler entfernt.

Comments

Bitte. Das ist die Vorbereitung, die es erst ermöglicht, dass dein Ansatz wie gewünscht funktioniert.

Answer 3

Man kann sich eine Partialbruchzerlegung einfach unter

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

vorrechnen lassen.

Da Zählergrad > Nennergrad macht man eine Polynomdivision:

x^3 / (x^2 - 4) = x + 4·x/(x^2 - 4)

Damit jetzt eine Partialbruchzerlegung machen

4·x/(x^2 - 4) = 2/(x - 2) + 2/(x + 2)

Es gilt also

x^3 / (x^2 - 4) = x + 2/(x - 2) + 2/(x + 2)