Beweis zu orientiertem Volumen eines Parallelogramms

Question

Zeige, dass das orientierte Volumen des von v und w aufgespannten Parallelogramms genau die

Determinante von der Matrix mit den Spalten v und w ist.( v,w ∈ ℝ^2)

Comments

Wie lautet denn die Definition von "orientiertes Volumen"?

(In 2D spricht man nebenbei nicht von Volumen, sondern von Flaeche.)

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Aufgabe 4) wäre die ganze Aufgabe.

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Da wird ja Bezug auf das Ergebnis von Aufgabe 3 genommen. \(F=F(v,w)\) war da auszurechnen. Das Ergebnis war welches?

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Bei 3 gab es kein Ergebnis da war nur zu zeigen dass die Fläche des Parallelogramms v*w =w*v ist, wenn ich zu erst v als Länge und w als Breite wähle (linke Seite) und rechte Seite w als Länge und v als Breite.

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Etwas das da? https://www.mathelounge.de/456756/beweis-zu-der-flache-des-parallelogramms

Wie willst Du denn gezeigt haben, dass beide Varianten dasselbe liefern, wenn Du die die Flaeche nicht mit beiden Varianten explizit berechnet hast?

Da ist natuerlich \(F(v,w)\) explizit anzugeben. Das wird jetzt für Aufgabe 4 gebraucht.

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Also muss ich die Aufgabe 3 erstmal lösen bevor ich die 4 machen kann?  Denn bei der habe ich auch noch meine Probleme.

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Rechne halt aus: Abstand d des Punktes w von der Geraden t·v. Dann ist F(v, w) = |v|·d.

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Bei 3 war ja zu zeigen Höhe h zur Grundseite v und Höhe h' zur Grundseite w. Für h,v ∈ ℝ^2

F(v,w)= ||v||*||h||=||w||*||h'||

Also ||v||*||h||=√((h₁*v₁)²+(h_1*v_1)^2+(h_2*v_1)^2+(h_2*v_2)^2 )

meinst du das?

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Sehr komische Formel ...

Ganz prinzipiell: Gegeben sind v und w. h bzw. h' hingegen nicht. Da kann in der Formel am Ende dann auch nur v und w vorkommen. Wenn Du h benutzen willst, musst Du es vorher aus v und w berechnen.

Und es muss Dir doch inzwischen klar sein, dass F(v, w) = |v₁w₂-v₂w₁| als Ergebnis rauskommen muss.

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Nee, mir ist nicht klar warum das für die Fläche herauskommen muss.

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Das sagt einiges aus. Der Nachweis von $$F(v,w)=|\det(v,w)|=|v_1w_2-v_2w_1|$$ ist gerade der Inhalt von Aufgabe 4.

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Um die Aufgabe zu lösen muss ich nun zeigen, dass die 3 Fälle im Vortext für |det(v,w)| gelten.

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Also der Fall |det(v,w)|=0 ist klar aber der Fall mit den orientierten Basen leuchtet mir nicht ein, wie ich darauf kommen kann.

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Du solltest vielleicht den Text mal richtig lesen. Er besteht zum groessten Teil aus Begriffserklaerungen und Erlaeuterungen. Er sagt Dir vor allem, wie Du das Vorzeichen, das eine Determinante neben ihrem Betrag ja nun eben auch hat, im geometrischen Bild zu interpretieren hast. Fuer Dich bleibt nur, das zur Kenntnis zu nehmen. Punkt. Deine einzige Aufgabe besteht darin zu zeigen, dass der Betrag der Determinante mit dem elementargeometrischen Flaecheninhat des besagten Parallelogramms uebereinstimmt. Leite endlich die Formel dafuer her. (Rechne den Abstand h des Punktes w von der Geraden t·v aus. Dann ist F(v, w) = |v|·h.)

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Ok habe  A=||v||*||h||=||v||*||w||*sin(α)  über sin α = √(1-cos^2(α))  ausgerechnet dann komme ich am Ende auf v_1*w_2-v_2*w_1 ... Aber ohne Betragsstriche.

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Rechne den Abstand h des Punktes w von der Geraden t·v aus. Dann ist F(v, w) = |v|·h.

Zur Erinnerung: Man verwendet die Hessesche Normalform, um den Abstand eines Punktes von einer Geraden auszurechnen.