Eigenvektoren und Eigenwerte

Question

Hallo liebe Community!

Folgende Frage:

Dazu habe ich die folgende Lösung:

Die gelb markierten Aussagen aus der Lösung verstehe ich leider nicht wirklich. Wieso hat das homogene System Ax = 0 unendlich viele Lösungen, wenn die Determinante von A gleich 0 ist?  Außerdem verstehe ich nicht genau, wieso es unendlich viele Eigenvektoren zum gegebenen Eigenwert (=0) gibt (zweiter gelb markierter Satz). Kann mir jemand vielleicht mit Hilfe eines Beispiels erklären, wieso das so ist?

Answer 1

Wenn [1, 2, 3] ein Eigenvektor ist, dann ist auch [2, 4, 6] ein Eigenvektor und auch k * [1, 2, 3] ist ein Eigenvektor für k ≠ 0. Es gibt also unendlich viele Eigenvektoren.