Aussagen über lineare Unabhängigkeit

Question

Ich soll einige Aussagen beweisen, wobei ich ein wenig Unterstützung gebrauchen könnte. Die Aussagen lauten:

 

(1) Sei X eine Teilmenge von Y, in der der Nullvektor enthalten ist. X ist dann nicht linear unabhängig.

(2) Sei {u₁,...,u_n} linear abh. Dann gibt es ein j aus {1,...,n} so, dass u_j eine Linearkombination der u₁,...,u_j-1,u_j+1,....,u_n ist.

(3) Seien U,M Teilmenge von V mit U c M. Wenn U linear abh. Ist, dann ist M dieses auch

(4) Seien U,M Teilmenge von V mit U c M. Ist M linear unabh., dann gilt dies auch für U

Die erste habe ich schon bewiesen, für die anderen wäre ich über ein wenig Hilfe dankbar! Mir würde es schon helfen, wenn ihr mir ein bisschen auf die Sprünge bzgl der Ansätze helfen könntet.

LG

Answer 1

(1) \(0\cdot \vec{v} + 1\cdot\vec{0} = \vec{0}\)

(2) Ist \(\lambda_1\neq 0\), dann ist \(\sum_{i=1}^n \lambda_i \vec{u}_i = \vec{0} \iff \vec{u}_1 = -\frac{1}{\lambda_1}\sum_{i=2}^n \lambda_i  \vec{u}_i\).

(3) Addiert man zu einer nicht-trivialen Linearkombination des Nullvektors das Nullfache eines weiteren Vektors, dann hat man immer noch eine nicht-trivialen Linearkombination des Nullvektors.

(4) Ist die Kontraposition von (3)

Comments

Ich habe (3) mal etwas mathematischer aufgeschrieben:

U ist linear abh ⇒ Es existiert Linearkombination (∑ a_i*u_i = 0 mit min einem a_i ≠0 ) 
Da U ⊂ M ist, gilt ∀ u∈U : u∈M. Somit muss gibt es auch eine Linearkombination der Vektoren aus M, sodass ∑ a_i*m_i = 0 mit min einem a_i ≠ 0.
ist das (formal) richtig?