Flächenberechnung zwischen 2 Funktionen

Question

Wenn ich die Fläche zwischen 2 Funktionen berechnen möchte, die ein Stück über der x-Achse ist und ein Stück unter der x-Achse.

Kann ich dann einfach den SP der Funktion berechnen und dann die Fläche normal übers Integral lösen, oder muss ich die Differenzfunktion erst so verschieben, dass die Fläche komplett ober bzw. unterhalb der x-Achse ist?
Weil das Integral ja die Fläche unterhalb der x-Achse von der Fläche oberhalb der x-Achse abzieht.

Answer 1

Hallo Farina,

du musst nichts verschieben.

Mit der Differenzenfunktion kannst du das mit Integralen jeweils von einer Schnittstelle bis zur anderen berechnen, wenn du einfach die Beträge der Integrale addierst.

Gruß Wolfgang

Comments

OK:) Und bilanziert sich dann nicht der Teil oberhalb der x-Achse mit dem unterhalb der x-Achse?

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Nein.

Bei der Differenzenfunktion spielt "unterhalb der x-Achse" keinerlei Rolle.

Das Vorzeichen wird nur negativ, wenn die erste Funktion in der Differenz  f(x) - g(x) unterhalb der zweiten liegt. Aber das hebt sich auf, wenn man einfach die Beträge der einzelnen Integrale nimmt.

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Also müsste ich hier jetzt...

I Integral der roten Funktion I - I Integral der blauen Funktion I rechnen...

I Integral (rote - blaue Funktion) I  wäre aber nicht erlaubt, da im Intervall ein Schnittpunkt mit der x-Achse vorliegt

Würde ich aber jetzt rechnen I Integral (rote Funktion +5 - Integral blaube Funktion +5) I wäre das erlaubt, weil sich somit die komplette Fläche über der x-Achse befindet.

?

(Die Integrale natürlich mit den Grenzen der Schnittpunkte der Funktionen)

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> I Integral (rote - blaue Funktion) I  wäre aber nicht erlaubt, da im Intervall ein Schnittpunkt mit der x-Achse vorliegt

Doch!

Die Flächenberechnung zwischen zwei Funktionen hat mit der x-Achse nichts zu tun (steht schon oben), wenn man mit der Differenzenfunktion rechnet. #

Hier kannst du einfach

∫ (rote Fkt. - blaue Fkt.) dx   rechnen, weil die rote Funktion oben liegt.

        (Die Integrale natürlich mit den Grenzen der Schnittpunkte der Funktionen)

Wenn du nicht weißt, welche Funktion oben liegt, nimmst du einfach

| ∫ ( f(x) -g(x) ) dx |    [ jeweils von Schnittstelle zu Schnittstelle ]  

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#  Der Grund ist folgender:

∫ ( f(x) + k - (g(x) + k) ) dx  = ∫ ( f(x) - g(x) ) dx

Du musst also nichts "nach oben schieben", weil die Verschiebungskonstante k sowieso wegfällt.