Question

Für x ∈ R sei f(x) = x /(1 + x^2) .

(a) Berechnen Sie f ´(x) und f ´´(x).

(b) Bestimmen Sie möglichst große Teilintervalle von R, auf denen f monoton fällt bzw. steigt.

(c) Bestimmen Sie möglichst große Intervalle, auf denen f konvex bzw. konkav ist.

(d) Geben Sie an, in welchen Teilintervallen von R die Funktion f progressiv steigend, degressiv steigend, progressiv fallend bzw. degressiv fallend ist.

Answer 1

(a) Berechnen Sie f ´(x) und f ´´(x).

f(x) = x/(1 + x^2)

f'(x) = (1 - x^2)/(x^2 + 1)^2

f''(x) = 2·x·(x^2 - 3)/(x^2 + 1)^3

(b) Bestimmen Sie möglichst große Teilintervalle von R, auf denen f monoton fällt bzw. steigt. 

f'(x) ≥ 0 --> -1 ≤ x ≤ 1 In den anderen Bereichen dann fallend.

(c) Bestimmen Sie möglichst große Intervalle, auf denen f konvex bzw. konkav ist. 

f''(x) ≥ 0 --> - √3 ≤ x ≤ 0 ∨ x ≥ √3 In den anderen bereichen dann konkav

(d) Geben Sie an, in welchen Teilintervallen von R die Funktion f progressiv steigend, degressiv steigend, progressiv fallend bzw. degressiv fallend ist.

Progressiv steigend --> f'(x) ≥ 0 und f''(x) ≥ 0 --> -1 ≤ x ≤ 0

Restlichen Bereiche schaffst du denke ich alleine oder?

Answer 2

(a) Sei \(f(x)=\frac{x}{1+x^2}\) dann sind die ersten beiden Ableitungen:

$$f'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$$

$$f''(x)=\frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}$$

Vor der Antwort der nächsten Frage, schauen wir uns das ganze mal an:

~plot~ x/(1+x^2);(1-x^2)/(1+x^2)^2;2x*(x^2-3)/((1+x^2)^3) ~plot~

(b) Die blaue Kurve ist der Graph von \(f\), die rote von \(f'\) und die grüne von \(f''\). \(f\) steigt dann monoton, wenn \(f'>0\) ist. Dies ist zwischen -1 und +1 der Fall. Für \(x<-1\) und \(x>+1\) fällt \(f\) monoton.

(c) konvex bedeutet, dass \(f\)  'nach unten' durchhängt, bzw. eine Linkskurve beschreibt. konkav ist das Gegenteil. Damit \(f\) eine Linkskurve bechreibt, muss die Steigung immer zunehmen, d.h. die Steigung der Steigung - also \(f''\) - muss \(>0\) sein.

Konvex ist \(f\) demnach in den Bereichen \(x \in (-\sqrt{3} .. 0)\) und \(x \gt \sqrt{3}\).