Wir betrachten erstmal die homogene DGL und wenden dann die Trennung der Variablen an: $$y'=-7y \Rightarrow \frac{dy}{dx}=-7y \\ \Rightarrow \frac{dy}{y}=-7dx ,\ , \ y\neq 0 \\ \Rightarrow \int \frac{dy}{y}=\int -7dx \\ \Rightarrow \ln |y|=-7x +c \\ \Rightarrow e^{\ln |y|}=e^{-7x +c} \\ \Rightarrow |y|=e^{-7x} e^c \\ \Rightarrow y=\pm e^ce^{-7x} \\ \Rightarrow y_H=Ce^{-7x}, \ \text{ wobei } \ C:= \pm e^c$$
Diese Lösung bekommen wir wenn y≠0. Wir müssen noch den Fall y=0 betrachten. Wir sehen dass y=0 die homogene DGL erfüllt. Das bedeutet dass yH=0 auch eine Lösung der homogene DGL ist.
Da der inhomogene Teil der Gleichung eine Konstante ist, betrachten wir eine konstante als partikuläre Lösung, also yP=K. Das setzen wir in der DGL ein: $$y'=-7y+2 \Rightarrow (K)'=-7K+2 \Rightarrow 0=-7K+2 \Rightarrow K=\frac{2}{7}$$
Die allgemeine Lösung des DGL ist die Summe der Lösung der homogenen Gleichung yH und der partikulären Lösung: $$y=y_H+y_P=Ce^{-7x}+\frac{2}{7}$$
