Du kennst sicher die binomische Formel \((a+b)^2=a^2 + 2ab +b^2\) und vielleicht noch diese Gleichung \((a+b)^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Und wenn man den Exponenten weiter erhöht, bilden die Koeffizienten von \(a\) und \(b\) das sogenannte Pascal'sche Dreieck. In diesem Dreieck lässt sich jede weitere Zeile erzeugen, indem man jeden Eintrag durch Addition der beiden darüber stehenden bildet. So kann man sich auch leicht herleiten, dass \((a+b)^4=a^4 + 4 a^3b + 6a^2b^2 + 4 ab^3 + b^4\) ist.
ich setze jetzt \(a=1\) und \(b=x\), und das Ergebnis soll 1,2 sein; dann ist
$$(1+x)^4=1 + 4 x + 6x^2 + 4 x^3 + x^4 = 1 + 0,2$$
Wenn \(x\) ein Wert ist, der deutlich kleiner als 1 ist, dann wird \(x^n\) mit wachsendem \(n\) immer kleiner. Man kann also in diesem Fall in obiger Gleichung alle Potenzen von \(x\) mit einem Exponenten >1 vernachlässigen. Also erhält man
$$(1+x)^4 \approx 1 +4x \quad \Rightarrow \sqrt[4]{1+ 4x} \approx1+x$$
Allgemein könnte man auch schreiben:
$$\sqrt[n]{1+r}\approx1 + \frac{1}{n}r \quad \text{für} \space |r| << 1$$
Für unseren Fall mit \(r=0,2\) und \(n=4\) ist dann
$$\sqrt[4]{1+0,2}\approx1 + \frac{1}{4} \cdot 0,2 = 1,05$$
Dieses Wert weicht weniger als \(\frac{1}{2}\)% vom genauen Ergebnis ab.
Gruß Werner
