kleinere von zwei potenzen ohne taschenrechner bestimmen

Question

ich mach am besten eine aufgabe als beispiel

a=3^ (1/2)

b=5^ (1/3)

irgendwie liegt mir das aber überhaupt nicht :/

gibt es da ein bestimmtes gesetz, um das ohne TR zu bestimmen oder muss man da die lösung direkt sehen/erproben?

EDIT (2021) Wegrationalisierte fehlende Klammern ergänzt. Wehe, die verschwinden noch einmal ;)

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\(27>25\\3^3>5^2\\\sqrt{3^3}>5\\\sqrt3>\sqrt[3]5\)

Answer 1

3^{1/2} = √3 ≈ 1.7

Man kann schriftlich die Wurzel ziehen. Ist allerdings etwas mühsam. Es gibt auch Näherungsverfahren wie das Heron-Verfahren.

5^{1/3} = ³√5 ≈ 1.7

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Ach ich hatte die Überschrift zu spät gesehen

Vermutung

3^{1/2} < 5^{1/3}

(3^{1/2})^6 < (5^{1/3})^6

3^{6/2} < 5^{6/3}

3^3 < 5^2

27 < 25

Da das falsch ist ist die Annahme falsch und

5^{1/3} ist die kleinere Potenz