Injektiv, surjektiv und bijektiv

Question

Bestimmen Sie für folgende Abbildung f:R→R ob sie injektiv, surjektiv und bijeltiv ist.

Comments

Ich verstehe leider nicht die Anwendung darauf bzw. Überprüfung der injektiv surjektiv und bijektiv

Answer 1

f(x) = 27x+13

Injektiv: Du musst prüfen, ob aus f(a) = f(b) auch a=b folgt,

also so :    f(a) = f(b)

==>     27a+13   =     27b+13    | -13

==>     27a   =     27b       | :27

==>     a=b , also f Injektiv.

Bei surjektiv musst du prüfen, ob für jedes c ∈ℝ die

Gleichung  f(x) = c lösbar ist, hier also

        27x+13 = c

          27x    =   c - 13

                x = ( c-13 ) / 27   geht also immer,

deshalb surjektiv.

Answer 2

Bijektivität bedeutet, dass es zwischen Definitions und Zielmenge eine vollständige Paarbildung gibt. D.h. jedem Element der Definitionsmenge ist umkehrbar eindeutig ein Element der Zielmenge zugeordnet, deshalb hat eine bijektive Funktion immer eine Umkehrfunktion.

Injektivität oder Linkseindeutigkeit besagt, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird. Dabei muss aber nicht jedes Element der Zielmenge ein Urbild haben. f(a) = f(b) --> a = b

Surjektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird, also mindestens ein Urbild hat. f(x) = c ist lösbar

Meine Lösungsvorschläge

f(x) = 27·x + 13 ; bijektiv

f(x) = 8·x^2

f(x) = -x^3 ; bijektiv

f(x) = |x|

f(x) = e^x ; injektiv, nicht surjektiv

f(x) = 2 - x ; bijektiv

Beachte auch den Tipp und zeichne dir auf jeden Fall die Graphen der Funktionen.

Comments

Könntest du bitte erklären wie du auf deine Lösungen gekommen bist hab die Definitionen verstanden aber wie ist es lösbar

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Hast du den Tipp befolgt und dir die Graphen angesehen? Wenn ja. Zu welcher Funktion verstehst du die Lösung nicht? Oder verstehst du alle Lösungen nicht? Dann hast du eventuell doch nicht die Definitionen verstanden.

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Ich verstehe alle Lösungen nicht, also Definitionen habe ich verstanden aber wie zeichnet man es bzw. löst es

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Du weißt nicht wie du eine lineare Funktion zeichnest ?

Dann solltest du dich als erstes damit beschäftigen und nicht mit diesen Definitionen.

Eine stupide Möglichkeit ist eine Wertetabelle machen, die Wertepaare in ein Koordinatensystem eintragen und dann versuchen eine (gültige) Funktion dadurch zu zeichnen.

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Achso Entschuldigung. Also ich versteh schon wie ich es zu zeichnen habe sprich mit einer Wertetabelle wie lese ich es aber aus dem Graphen dann ab

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Surjektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird, also mindestens ein Urbild hat. f(x) = c ist lösbar 

Jeder Gerade durch y = c mit c aus der Wertemenge muss den Graphen mindestens einmal schneiden.

Injektivität oder Linkseindeutigkeit besagt, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird. Dabei muss aber nicht jedes Element der Zielmenge ein Urbild haben. f(a) = f(b) --> a = b 

Jeder Gerade durch y = c darf den Graphen höchstens einmal schneiden.

Bijektivität bedeutet, dass es zwischen Definitions und Zielmenge eine vollständige Paarbildung gibt. D.h. jedem Element der Definitionsmenge ist umkehrbar eindeutig ein Element der Zielmenge zugeordnet, deshalb hat eine bijektive Funktion immer eine Umkehrfunktion.

Eine Funktion ist bijektiv wenn sie injektiv und surjektiv zugleich ist.

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Ich versuche den Graphen zu zeichnen und stelle es hier rein.

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Wie hoch sollte die Schrittweite sein? Also im Taschenrechner

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So hoch wie nötig. Bei linearen Funktionen langen 2 Punkte. Bei anderen Funktionen brauchst du eventuell mehr.

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Hab das jetzt eingezeichnet 

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Woran erkenne ich jetzt injektiv surjektiv und bijektiv

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Das sollte so aussehen

~plot~ 27x+13;[[-5|5|-120|120]] ~plot~

Und jetzt überlegt man sich ob jede horizontale Gerade mit y = c ; c ∈ Zielmenge, den Graphen mind. einmal oder höchstens einmal schneidet.

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Und jetzt überlegt man sich ob jede horizontale Gerade mit y = c ; c ∈ Zielmenge, den Graphen mind. einmal oder höchstens einmal schneidet.

verstehe das leider nicht.

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Bitte um Hilfe .....

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Was verstehst du nicht. Was höchstens einmal schneiden heißt? Dann weiß ich auch nicht weiter. Vielleicht kannst du im Internet mal wichtige Begriffe wie höchstens, mindestens usw. nachsehen.

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 y = c ; c ∈ Zielmenge, den Graphen mind. einmal oder höchstens einmal schneidet.

Ich verstehe dass nicht bezogen auf f(x)= 27*x+13

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Meine Lösungsvorschläge

f(x) = 27·x + 13 ; bijektiv

f(x) = 8·x2

f(x) = -x3 ; bijektiv

f(x) = |x|

f(x) = ex ; injektiv, nicht surjektiv

f(x) = 2 - x ; bijektiv

Könnte man das rechnerisch nicht lösen

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Wenn du in dein Koordinatensystem eine horizontale Gerade einzeichnest, wie oft wird dann die Funktion geschnitten.

Beachte, das du theoretisch das Koordinatensystem unendlich groß zeichnen musstest. Oder du müsstest wissen wie der Graph an den Grenzen was du nicht gezeichnet hast weiterverläuft.

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Natürlich kann man das auch rechnerisch lösen. Wie habe ich oben z.t. mit in den Text geschrieben.

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Ich verstehe es nicht wie du meinst dass die Funktion geschnitten wird anhand dem Koordinatensystem wo erkennt man das

Wenn du in dein Koordinatensystem eine horizontale Gerade einzeichnest, wie oft wird dann die Funktion geschnitten.

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Ja. Kannst du denn horizontale Geraden zu der Funktion ins Koordinatensystem einzeichnen.

Ich glaube du solltest etliche Grundlagen in der Mathematik und der Geometrie nochmals nacharbeiten.

Du musst schon sagen wobei du genau Verständnisschwierigkeiten hast. Verstehst du die Worte nicht? Also sowas wie Gerade oder horizontal?

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Also ich verstehe die Worte schon aber kann es nicht rechnerisch anwenden

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Bei der Eintragung der Koordinaten ist es mir nicht schwer gefallen, aber es herauszuerkennen.