Stetigkeit. Ist f: R2 -> R, f(x,y): = ln(1+|xy|) / (x2 + y2 ) für x2 + y2 >0 stetig ergänzbar in O(0|0)?

Question

f(x,y) = ln(1+|xy|) / (x² + y² )  für x² + y² >0

Ich soll die Funktion im Nullpunkt auf Stetigkeit oder stetige Ergänzbarkeit untersuchen.

Wenn man sich sicher ist, dass die Funktion nicht stetig ist könnte man 2 Nullfolgen suchen ,für die ein unterschiedlichen Grenzwert herauskommt.

Aber auf Anhieb kann ich an keine denken die mir weiter helfen.

Eine andere Möglichkeit wäre es mit dem Epsilon-Delta-Kriterium die Funktion abzuschätzen, jedoch kenne ich keine Abschätzung für den ln.

Answer 1

f(x, y) = LN(1 + ABS(x·y)) / (x² + y²)

Wähle y = m·x

f(x, m·x) = LN(1 + ABS(x·(m·x))) / (x² + (m·x)²) = LN(x²·ABS(m) + 1) / (x²·(m² + 1))

lim (x --> 0) f(x, m·x) = ABS(m)/(m² + 1)

Damit ist der Grenzwert von m Abhängig und damit ist der Graph nicht stetig ergänzbar.

Comments

Vielen Dank schon einmal.

Wieso gilt dem beim letzten Schritt, dass wenn x->0 geht , dass der ln verschwindet und die Funktion im Zähler und Nenner nicht mehr von x abhängt?

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Naja. Dazu müsstest du wissen wie man Grenzwerte bildet. Stichwort La'Hospital. Wenn du den Grenzwert für x --> 0 bildest ist das fast so als wenn man für x etwas nahe bei 0 einsetzt. Damit ersetzt du das x jedoch und das x fällt dann natürlich weg.

Du solltest also nochmals die Grenzwerte nachlernen.

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Der Satz von La'Hospital ist mir durchaus bekannt, jedoch hab ich mich verrechnet und der Term hing noch von x² ab.

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Nach dem Grenzwertübergang sollte da kein x mehr auftauchen. Sonst hat man was verkehrt gemacht.