Existenz der Richtungsableitungen von f: R^2-->R, f(x,y) = ( x*|y|) / (x2+y2)^{0.5}

Question

Ich soll bei der folgenden Funktion zeigen, dass alle Richtungsableitungen existieren und f in (0,0) nicht differenzierbar ist.

f(x,y) = ( x*|y|) / (x²+y²)^0.5   ,für (x,y) ≠ (0,0) soll f(0,0) = 0 und stetig in (0,0) sein.

Zur Richtungsableitung: Die Richtungsableitungen existieren, wenn der Folgende Grenzwert existiert:  

lim (h->0)  ( f(0+h*v) - f(0) ) / h   mit v = (v₁ ,v₂ ) 

= lim (h->0)  (h*v₁ *|h*v₂|) / (h²*v₁² + h²*v₂²)^0.5   man könnte hier den l'Hospital anwenden aber der vereinfacht den Ausdruck nicht wirklich und eine schöne Abschätzung habe ich bisher nicht gefunden. 

Zur Differenzierbarkeit hab ich keinen Ansatz.

Wie kann ich den Grenzwert effizient bestimmen und die Differenzierbarkeit widerlegen?

Comments

lim (h->0)  ( f(0+h*v) - f(0) ) / h   mit v = (v₁ ,v₂ ) 

= lim (h->0)  (h*v₁ *|h*v₂|) / (h²*v₁² + h²*v₂²)^0.5  

Du hast es nicht mal richtig hingeschrieben. Und die Rechnung ist so oder so voellig elementar.

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Das mag sein, aber den Fehler kann ich nicht sehen.

 Und warum soll die Rechnung völlig elementar sein?

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Und warum soll die Rechnung völlig elementar sein?

Weil man nur simple Rechenregeln auf Mittelstufenniveau braucht (Bruchrechnen, Quadratwurzeln) und ganz bestimmt keinen L'Hospital.

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Die Quadratwurzel kann ich nicht auflösen, da (x²+y²)^0,5 ≠ (x² )^0,5 + (y² )^0,5

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Und ausser dieser Nichtregel faellt Dir nichts ein?

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Ich hab schon einiges ausprobiert, jedoch würde es zulange dauern einzutippen.

Vielleicht übersehe ich ja das offensichtliche. Deswegen habe ich ja auch eigentlich die Frage gestellt.

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Ausklammern, teilweises Wurzelziehen, Kuerzen. Wenn Du das nicht selber siehst, musst Du Dir eigentlich ueberlegen, ob es noch Sinn macht, sich weiter mit hoeherer Mathematik zu beschaeftigen.

Answer 1

Hallo Momfred, ich habe die Richtungsableitung durchgerechnet, siehe Bilder.  Da v₁ = v₂ = 0 unzulässig ist, ist der Nenner immer positiv.  Der Grenzwert existiert.  Hallo Fakename, bitte Netiquette beachten und höflich bleiben.

Comments

Mit solchen Annahmen kriege ich fast alles "differenzierbar" .

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Hallo Gast, wir müssen unterscheiden zwischen der Bildung von Richtungsableitungen einerseits, gemäß dem Text von Momfred und https://de.wikipedia.org/wiki/Richtungsableitung und meiner Rechnung, und der (totalen) Differenzierbarkeit andererseits, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit.  Ich habe gezeigt, dass die Richtungsableitungen existieren, nicht, dass die Funktion (total) differenzierbar ist.

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Hast Du nicht. Deine Annahmen \(h>0\) und \(v_2>0\) sind unzulaessig. Rechne lieber vollstaendig und richtig und lass dafuer Deinen ueberheblichen Verweis auf Netiquette weg.