kritische punkte bestimmen hilfe notwendig und überprüfen

Question

Hey:)

Häng gerade bei dieser Aufgabe fest.

Ich hab auch alle partiellen Ableitungen bestimmt und die x und y-Werte. Leider weiß ich nicht, wie ich jetzt weitermachen soll.

f_x(x,y,z) = 3x² + 6y

f_y(x,y,z) = 2y + 6x

f_z(x,y,z) = 2z+2

f_xx(x,y,z) = 6x

f_yy(x,y,z) = 2

f_zz(x,y,z= 2

f_xy = f_yx = 6

f_xz =  f_zx =0

f_yz = f_zy =0

Gradient null setzen:

3x2 + 6y =0 => x=0 oder x=6

2y + 6x =0 => y =-3x

2z +2 =0 => z =-1

1. Fall x =0 und y=0 und z=-1 ergibt einsetzen in die Hesse-Matrix

(0         6          0

6           2          0

0            0           2)

und was kann ich jetzt sagen, ob ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt vorliegt?

2.Fall x =6, y=-18, z=-1

(36       6        0

6           2        0

0           0         2)

Determinante>0  und 36>0  --> Minimum (6,-18,-1)

Comments

Ist im Fall eins, weil die Determinante kleiner 0 ist, ein Sattelpunkt?

Answer 1

f'(x,y,z) = [3·x^2 + 6·y, 6·x + 2·y, 2·z + 2] = [0, 0, 0]

f''(x, y, z) = [6·x, 6, 0; 6, 2, 0; 0, 0, 2]

2·z + 2 = 0 --> z = -1

6·x + 2·y = 0 --> y = -3·x

3·x^2 + 6·(-3·x) = 0 --> x = 6 ∨ x = 0

Lösung sind daher

(x = 6 ∧ y = -18 ∧ z = -1) ∨ (x = 0 ∧ y = 0 ∧ z = -1)

f''(6, -18, -1) = [36, 6, 0; 6, 2, 0; 0, 0, 2] --> positiv definit --> Minimum

f''(0, 0, -1) = [0, 6, 0; 6, 2, 0; 0, 0, 2] --> indefinit --> Sattelpunkt

Comments

Vielleicht hilft dir das:

https://www.youtube.com/watch?v=OfV_LWpULWc

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Woran erkenne ich, dass bei dem Sattelpunkt die Matrix indefinit  ist?

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Kannst du die Eigenwerte der Matrix berechnen ?