über einen bereich integrieren integral keine grenzen nur bereich

Question

ich hab hier ja irgendwie keine Grenzen, deshalb weiß ich nicht, wie ich hier integrieren soll...

Answer 1

Hallo Sonnenblume,

die Ungleichung  x² + y² ≤ 4  beschreibt die Punkte der Kreisfläche mit Mittelpunkt (0|0)  und r = 2 .

Deren Berandung setzt sich aus zwei Halbkreisen mit den  Gleichungen  y = ± √(4 - x²)  zusammen.

Wegen y≥0 ist dein Bereich B die Menge der Punkte (x|y) des Halbreises über der x-Achse, deshalb gilt  -2 ≤ x ≤ 2  und an jeder Stelle x  nimmt y die Werte  0 ≤ y ≤ √(4 - x²) an.

Ich denke, du solltest es einmal vollständig gesehen haben:

∫_B  xy+y  dx dy    (Die Reihenfolge von dx und dy ist dabei gleichgültig # )

=   _-2∫²  ( ₀∫^{√(4-x^2)}  xy + y  dy )  dx

=   _-2∫²  ( ₀∫^{√(4-x^2)}  y·(x+1)  dy )  dx

        Beim inneren Integral ist y die Integrationsvariable und x konstant:

=   _-2∫²  ( [ 1/2 · y^2 · (x + 1) ]₀^{√(4-x^2)} ) dx

=   _-2∫²  ( 1/2 · (x + 1) · (4 - x^2) )  dx

=     _-2∫²  ( - x^3/2 - x^2/2 + 2x + 2 ) dx

=    [ - x^4/8 - x^3/6 + x^2 + 2x ]_-2²  =  16/3  

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#   So wie ich die Grenzen beschrieben habe, muss man zuerst nach x integrieren, damit die Grenzen beim äußeren Integral Zahlen sind. Man könnte das Ganze auch umgekehrt machen. (Zur Übung empfohlen :-))  

Gruß Wolfgang

Answer 2

Das solltest du selber in ein Doppelintegral umschreiben. Das könnte denke ich wie folgt lauten.

∫ (B) (x·y + y) dx dy

∫ (-2 bis 2) ∫ (0 bis √(4 - x^2)) (x·y + y) dy dx = 16/3

Answer 3

das kann man auch mit Polarkoordinaten lösen:

x^2+y^2=r^2>=4--> r∈[0,2]

y>=0 ---> φ∈[0,π]

dxdy=rdrdφ

Integrant:

(xy + y)dxdy=(r^2 cos(φ)sin(φ)+rsin(φ))rdrdφ

=(r^2 sin^2(2φ)/2+rsin(φ))rdrdφ

Integrieren nach φ mit Grenzen 0 und π:

=2r^2 dr (der linke Summand liefert keinen Beitrag)

Integrieren nach r mit grenzen 0 und 2 ergibt dann

2/3[8-0]=16/3