Trigonometrische Gleichungen richtig lösen. 2*cos^2(x) = 3 - 3*sin(x)

Question

Lösen Sie die Gleichung für \( x \in[0 ; 2 \pi[. \)
\( 2 \cdot \cos ^{2}(x)=3-3 \cdot \sin (x) \)

Geben Sie die Resultate im Bogenmass an. 

Wie löse ich solch eine Aufgabe?

Answer 1

cos²(x) = 1 - sin²(x). Dann lautet die Gleichung 2·( 1 - sin²(x))=3-3 sin(x). Substitution sin(x)=z führt zu 2·( 1 - z²)=3-3 z. Quadratische Gleichung für z lösen und resubstituieren.

Answer 2

Hallo Silverdart,

2 * cos²(x) = 3 - 3 * sin(x)    ;  x ∈ [0 , 2π[

⇔ 2 * ( 1 -  sin²(x) ) =  3 - 3 * sin(x)            [ cos²(x) + sin²(x) = 1]

Setze:  z = sin(x) 

⇔  2 * (1 - z²)  =  3 - 3z

⇔  2 * (1 -  z²)  -  3 * (1 -  z)  = 0

              1-z ausklammern  (oder  zusammenfassen und pq-Formel)

⇔  2 * (1 - z) * (1 + z) - 3 * (1 - z) = 0

⇔  (1 - z) * [ 2 * (1 + z) - 3 ] = 0

⇔  (1 - z) * (2z - 1) = 0

⇔  1 - z  = 0   oder  2z - 1 = 0      [Nullproduktsatz]

 ⇔   z = 1  oder  z = 1/2

⇔   sin(x) = 1   oder  sin(x) = 1/2

⇔   x  = π/2   oder  z  = π/6   oder  z  = π - π/6  =  5/6 π

Gruß Wolfgang