Variation der Konstanten. y'(t) = a(t) * y(t) + b(t) mit y_(p)(t_(0)) = c.

Question

Kann mir jemand zeigen wie ich das mache?

Comments

EDIT: Bitte Text auch als Text eingeben: https://www.mathelounge.de/schreibregeln 

Könnte anhand der Überschrift sein, dass eine der ähnlichen Fragen unten weiterhilft. 

Answer 1

Hi,

(1)
$$ y_p(t_0) = \varphi(t_0) \left( c + \int_{t_0}^{t_0} \frac{b(s)}{\varphi(s)} ds \right) = c  $$ weil
$$ \varphi(t_0) = e^0 = 1 $$ und $$ \int_{t_0}^{t_0} \frac{b(s)}{\varphi(s)} ds = 0 $$ gilt, weil obere und untere Integrationsgrenze identisch sind.

(2)
$$ y'_p(t) = \varphi'(t) \left( c + \int_{t_0}^{t} \frac{b(s)}{\varphi(s)} ds  \right) + \varphi(t) \frac{b(t)}{\varphi(t)} $$ wegen
$$ \varphi'(t) = \varphi(t) a(t)  $$ folgt, dass die Dgl. erfüllt ist.