Polynom 4. Grades. Achsensymmetrisch zur y-Achse. Funktionsgleichung bestimmen

Question

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Sie lautet:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Er hat im Punkt P (2|-2) die Steigung 2 und verläuft durch den Koordinatenursprung.

Mein Ansatz:

f(x)=ax^4+cx2 -> f'(x)=4ax^3+2cx

Weil er durch P läuft, hätte ich gemeint, es wäre f(2)=-2

Weiter weiß ich nicht, ich weiß nicht wie ich die Information zur Steigung miteinbeziehen soll.

Und kann mir jemand nebenbei beantworten, was es heißt, wenn die Funktion im Ursprung die Steigung 1 hat?

Answer 1

f(x)=ax⁴+cx²      -> f'(x)=4ax³+2cx

Weil er durch P läuft, hätte ich gemeint, es wäre f(2)=-2   Soweit OK.

Er hat im Punkt P (2|-2) die Steigung 2 :    f ' (2) = 2

Die Steigung in einem Punkt ergibt sich immer durch die Ableitung.

Deshalb auch : was es heißt, wenn die Funktion im Ursprung die Steigung 1 hat?

f ' ( 0 ) = 1

Answer 2

f ( x ) =ax⁴ + cx^2
f ' ( x ) =4ax³ + 2cx

f ( 2 ) = a  * 2^4  + c * 2^2  = -2
f ' ( 2 ) =4 * a * 2³ +  2* c * 2 = 2

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.
16 * a + 4 * c = -2
32 * a + 4 * c = 2

- 16  * a = -4
a = 1 / 4

32 * 1 / 4 + 4 * c = 2
c = -6 / 4 = - 3 / 2

Comments

Hier noch eine Skizze, die den Sachverhalt zeigt

~plot~ 1/4*x^4-3/2*x^2;2*(x-2)-2;{2|-2} ~plot~

Merke dir noch folgende Übersetzungen

x -- Stelle x (x-Koordinate)

f(x) -- Funktionswert an der Stelle x (y-Koordinate)

f'(x) -- Steigung/Änderungsrate an der Stelle x

f''(x) -- Krümmung an der Stelle x

Answer 3

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Er hat im Punkt \(P (\red{2}|-2)\) die Steigung \(\green{2}\) und verläuft durch den Koordinatenursprung.

Im Koordinatenursprung ist wegen der Achsensymmetrie ein Extremum:
Nullstellenform (doppelte Nullstelle im Ursprung)
Die gilt, weil auch die weiteren Nullstellen :
\(f(x)=ax^2(x-N)(x+N)=a(x^4-N^2x^2)\)
Wegen der Steigung muss nun abgeleitet werden:
\(f'(x)=a(4x^3-2N^2x)\)

\(f'(\red{2})=a(32-4N^2)=\green{2}\)

\(a=\frac{1}{16-2N^2}\)

\(f(x)=\frac{1}{16-2N^2}(x^4-N^2x^2)\\=\frac{x^4-N^2x^2}{16-2N^2}\)
\(P (\red{2}|-2)\):
\( f(2)=\frac{16-4N^2}{16-2N^2}=-2 \)
\(N^2=6\)
\(a=\frac{1}{4}\)
\(f(x)=\frac{1}{4}(x^4-6x^2)\)

Comments

Hier sehe ich ehrlich gesagt keinen Vorteil der Nullstellenform, denn man kann direkt mit dem Ansatz \(f(x)=ax^4+bx^2\) arbeiten.

---

Ich kann allgemein gesagt feststellen, dass beide Wege zum Ziele führen. Aber in vielen Fällen, wo die Nullstellen ersichtlich sind oder der Graph so verschoben werden kann, dass die Nullstellenform Vorteile bietet, finde ich den herkömmlichen Weg oftmals langwieriger. Gerade bei Steckbriefaufgaben sollten Lernende beide Verfahren kennenlernen und einüben, um dann selbst zu entscheiden, wie sie die Funktion finden können.

---

Da LGS heutzutage meist sowieso nicht mehr per Hand gelöst werden müssen, erübrigt sich das eigentlich. Die meisten tun sich ja ohnehin schon schwer, nur die Bedingungen aufzustellen...