Suche Exponentialfunktion aus Punkten (50|3);(100|2);(150|1,666)

Question

Ich komme einfach nicht drauf. Ich suche die Funktion zu den obigen Punkten. Möglicherweise ist es keine Exponentialfunktion, aber was anderes kann ich mir nicht vorstellen, bzw. es ist eine Exponentialfunktion gefordert.

(50|3);(100|2);(150|1,666)

Wenn ich die Funktion aus 2 Punkten bestimme >>> b⁵⁰=2/3   >>> a=4,5   >>> y= 4.5*0,99192348 und es dann mit dem 3. Punkt kontrolliere, komme ich nicht auf y=1,666

Vermutlich ist das schon ein System (Funktion mit 2 Variablen), dann hab ich vermutlich ein Problem.

Hoffe Ihr könnt mir helfen :)

Answer 1

> Möglicherweise ist es keine Exponentialfunktion, aber was anderes kann ich mir nicht vorstellen ...

Satz (Polynominterpolation). Zu n Punkten mit paarweise verschiedenen x-Koordinaten gibt es eine eindeutige ganzrationale Funktion vom Grad kleiner oder gleich n+1, die durch diese Punkte verläuft.

> bzw. es ist eine Exponentialfunktion gefordert.

Das solltest du der Aufgabenstellung entnehmen.

> (50|3);(100|2);(150|1,666)

Das kann nicht durch eine Funktion der Form f(x) = a·q^x beschrieben werden, weil 50 + 50 = 100 und 100 + 50 = 150, aber 3·2/3 = 2 und 2·2/3 ≠ 1,666.

Answer 2

50 ; 3

100; 2

150 ; 4/3   sind das vermutlich. Dann passt es.

Bei Zunahme von x um 50 ändert sich y um den Faktor 2/3 .

Also ist es eine Exponentialfunktion mit der Basis 2/3 .

3 = 3* (2/3)⁰ = 3* (2/3)^50/50-1
2 = 3* (2/3)¹ = 3* (2/3)^100/50-1

4/3= 3* (2/3)² = 3* (2/3)^150/50-1

Also  y =  3* (2/3)^x/50-1 = 4,5 *(2/3)^x/50  

Comments

Sehr gut. 4/3 = 1.3333333........  würde ja ungefähr passen. 

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4/3 passt sogar haargenau.

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Danke für diese Lösung. Leider passt es immernoch nicht ganz, weil mir zB ein weiterer Punkt (eigentlich alle) bekannt ist: 75|2,3333.

Bei meiner Funktion handelt es sich um eine Exponentialfunktion, weil ich den Faktor in einer Zinseszinsrechnung bestimmen möchte. Ich kann den Faktor die die Rückwärtsrechnung bestimmen. Aber ich möchte eine Funktion bestimmen, damit ich die Rückwärtsrechnung nicht jedes mal ausführen muss.

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So ungefähr passt 4/3 = 1.3… zu 1.666 , wollte ich sagen.

Answer 3

Wie habt ihr denn Exponentialfunktionen definiert? 

y = a * b^x 

Oder allenfalls noch y = a*b^x + c ? 

Gemäss https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion sollte da nur y = a^x stehen und du hast nur eine Unbekannte und dazu genügt eine Gleichung.

D.h. die 3 Punkte liegen auf verschiedenen Kurven. 

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=interpolation+of+(50%7C3),(100%7C2),(150%7C1.666) macht aus deinen Punkten einfach mal einen Teil einer Parabel 

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Danke für diese Lösung. Leider passt es immernoch nicht ganz, weil mir zB ein weiterer Punkt (eigentlich alle) bekannt ist: 75|2,3333.

Bei meiner Funktion handelt es sich um eine Exponentialfunktion, weil ich den Faktor in einer Zinseszinsrechnung bestimmen möchte. Ich kann den Faktor die die Rückwärtsrechnung bestimmen. Aber ich möchte eine Funktion bestimmen, damit ich die Rückwärtsrechnung nicht jedes mal ausführen muss.