Lineare Differentialgleichung: (1+x^4)y'(x) + 2x^3 y(x) + x/(√(1+x^4)) = 0 , y(0) = 1

Question

könnte jemand mir erklärend folgende Aufgabe vorrechnen? Dankesehr

Bestimmen Sie die Lösung y(x) des reellen Anfangswertproblems 

Comments

Bis jemand antwortet hier zunächst die Lösung von Wolframalpha

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2Bx%5E4)*y%27%2B2x%5E3y%2Bx%2F%E2%88%9A(1%2Bx%5E4)%3D0,y(0)%3D1

Die mobile Version (z.B. Android) sollte das auch Schritt für Schritt vorrechnen können.

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Vom Duplikat:

Titel: Lineare Differentialgleichung: (1+x^4)y'(x) + 2x^3 y(x) + x/(√(1+x^4)) = 0 , y(0) = 1

Stichworte: differentialgleichung,dgl,lösung,ordnung,berechnen,awp

ich verstehe diese Mitschrift nicht...

Wieso kommt man auf 4s^3  man muss doch integrierten,sprich aufleiten...

wieso kommt man auf einmal auf 4s^3

Verstehe nicht die Zeile wo Substitution steht und da drunter teilweise...

kann das bitte einer erklären ?

Answer 1

diese Aufgabe kannst DU mit "Variation der Konstanten" lösen

1 .)Teile die Gleichung zuerst  durch (1+x^4)

-------->

y' +(2x^3 y)/(1+x^4)= (-x)/(( 1+x^4)^{3/2})

2.) y' +(2x^3 y)/(1+x^4)=0 ->Trennung d. Variablen

3.)y_h=

y_p= (dabei setze  C₁=C(x)

y_p' =

4.Setze y_p und y_p' in die Aufgabe ein

5.)(dabei kann man C(x) kürzen

C'(x)=

C(x)=

6.)y_p= C(x) /√(1+x^4)

7.)y= y_h +y_p

_{8.) AWB in die Lösung einsetzen.}

_{----------------------------------------------------------------------------------}

_{Variante 2 mit der Lösungsformel:}

Comments

Verstehe nicht wie man 2. Und 3 in der ersten variante lösen soll

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Ich verstehe nicht wie man über den normalen weg zu arctan gelangt. Könntest Du vielleicht den normalen Weg weiter ausführen? Danke

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so geht es weiter:

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der Rest :

Answer 2

Gelöst von Wolframalpha sieht das wie folgt aus

Answer 3

Es ist doch allgemein so, das bei der Substitution mit Integration generell abgeleitet wird , also nicht nur hier bei dieser Aufgabe.

Ich habe ein Link herausgesucht, wo der allgemeine Ablauf beschrieben ist.

http://massmatics.de/merkzettel/#!135:Integration_per_Substitution

Außderdem habe ich die Aufgabe mit anderen Wegen hier schon mal gelöst, falls interessiert.

https://www.mathelounge.de/461583/lineare-differentialgleichung-1-x-4-y-x-2x-3-y-x-x-%E2%88%9A-1-x-4-0-y-0-1#c462365