Abbildung f. Bildmengen, Urbildmengen, Gegenbeispiel? Für b) hab ich bisher: f^{-1}(f(C))={ x∈ A : f(x)∈ C}

Question

Hey:)

Also die a hab ich bereits gelöst.

Für die b hab ich bisher folgendes:

f^-1(f(C))={ x∈ A : f(x)∈ C}

c∈C =>^{da C⊆f^{-1} f(C)} C ∈ f^-1f(C))

C={4,-4}

f: x-> x^2

f(C)= 16

f^-1f(C)) =4 

Das wäre mein Gegenbeispiel.

Passt das so?

Bei der c komm ich momentan noch nicht weiter.

EDIT: Überschrift präzisiert und doppelte Bilder entfernt.

Comments

  likeeeeeee22!

Deine Fragen sind ja gelegentlich etwas wirr, aber diese hier ragt doch ein wenig heraus. Der Titel "mengen teilmenhen gegenbeispiel" ist Blödsinn, was "die a, b und c" sein sollen, muss der Leser raten, und von den drei Bildern, die du zur Verfügung gestellt hast, sind offensichtlich zwei völlig überflüssig...

Answer 1

> da C⊆f^-1 f(C)

Du darfst nicht C⊆f^-1 f(C) als Begründung verwenden, weil C⊆f^-1 f(C) genau das ist, was du zeigen sollst.

> Das wäre mein Gegenbeispiel.

Dein Beispiel ist nicht korrekt.

Ist C = {-4, 4} und f(x) = x² , dann ist f(C) = {16} und f^-1({16}) = {-4, 4} = C.

Warum nennst du dein Beispiel "Gegenbeispiel"?

Comments

Ich dachte, dass mein Beispiel zeigt, dass die -4 nicht dabei ist und deshalb wäre es ein Gegenbeispiel.

Wie Beweise ich dann die Aussage?

---

> Wie Beweise ich dann die Aussage?

Sei c ∈ C. Außerdem sei y = f(c) und Y = f(C).

Wegen c ∈ C ist y ∈ Y (Definition Bild einer Menge).

Wegen f(c) = y und y ∈ Y ist c ∈ f^-1(Y) (Definition Urbild einer Menge).

Wegen Y = f(C) ist f^-1(Y) = f^-1(f(C)) durch Einsetzen.

Zusammengefasst c ∈ C ⇒ c ∈ f^-1(f(C)). Nach Definition der ⊆-Beziehung ist dann C ⊆ f^-1(f(C)).

> dass die -4 nicht dabei ist und deshalb wäre es ein Gegenbeispiel.

Ein Gegenbeispiel ist ein konstruierter Sachverhalt, der eine Hypothese widerlegt.

Das Beispiel, dass du konstrieren sollst, soll aber keine Hypothese widerlegen, sondern eine Hypothese bestätigen, nämlich die Hypothese, dass es C und f gibt, so dass C ≠ f^-1(f(C)) ist.

Insofern ist die Bezeichnung Gegenbeispiel unpassend.

> dass die -4 nicht dabei ist

Ich habe mich geirrt, als ich gesagt habe, dass dein Beispiel korrekt sei. Ich habe deshalb meine Antwort überarbeitet. Die -4 ist eben dabei (was auch immer du mit dabei meinst). Für ein korrektes Beispiel bist du aber  mit f(x) = x² auf dem richtigen Weg. Lediglich dein C passt noch nicht.

---

Kannst du mir mal dass mit dem Bild und Urbild erklären?

Weil ich hab die Definition des Urbilds vor mir

f: M-> N , Y⊆wertebereichs von f

f^-1 (Y)= {x∈M : f(x) ∈ Y}

Und hier wäre es dann doch:

f^-1 (Y) = { c∈ C : y ∈ Y} oder?

Und für das Bild:

f(Y)={ f(c): c ∈C}

---

Und als Gegenbeispiel wäre doch möglich:

C ≠ f^-1(f(C))

a≠ b, f(a) = f(b)

Sei {a,b} ⊂ f^-1(f(C))

C= {a}

---

> Kannst du mir mal dass mit dem Bild und Urbild erklären?

Ich kann auch nicht viel mehr machen, als das vorzulesen, was in der Definition steht: Das Urbild einer Menge Y unter einer Abbildng f ist die Menge aller x aus dem Definitionsbereich von f, deren Bilder unter f in Y liegen.

> Sei {a,b} ⊂ f^-1(f(C)).

Zu diesem Zeitpunkt hast du noch nicht festgelegt, was C ist.