Matrix mit Bruch - Charakteristisches Polynom

Question

Ich versuche schon seit einer Stunde das charakteristische Polynom folgender Matrix zu finden. Ich bin nicht im Stande diese Matrix so zu vereinfachen dass ich damit eine "angenehme" Rechnung bekomme. Laut Musterlösung sieht das Polynom doch sehr "einfach" aus. Deshalb denke ich dass man einige male umformen muss bevor man das Polynom aufstellt. Komme nur irgendwie nicht auf die Schritte.

Answer 1

Schau einfach mal wie so ein Vorfaktor überall eingeht:

DET(p·[2, -1, 1; -1, 2, 1; 1, 1, 2] - [k, 0, 0; 0, k, 0; 0, 0, k])

= - k^3 + 6·k^2·p - 9·k·p^2

Damit lautet das charakteristische Polynom, wenn du p= 1/3 setzt

= - k^3 + 2·k^2 - k = - k·(k - 1)^2

Comments

Habs gerade nachgerechnet und verstanden. Für den vorfaktor eine variable einsetzen damit die rechnung übersichtlich bleibt.  Das char. Polynom kann man nicht aus der Matrix erkennen, deshalb muss man es für jede Matrix neu über diesen Weg ausrechnen oder?

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Ja. Die Determinante bilden ist ja aber nicht gar so schwer.