f ist differenzierbar, weil f die Summe von differenzierbaren Funktionen ist. Insbesondere ist f deshalb auch stetig.
f ist injektiv, weil f wegen
f'(x) = exp(-x) + 1 > 0 ∀ x∈ℝ
auf ganz ℝ streng monoton steigend ist.
Es ist
x = exp(-x)
⇔ x - exp(-x) = 0
⇔ f(x) = 0.
Die Lösungen der Gleichung x = exp(-x) sind also genau die Nullstellen von f.
Wegen Injektivität hat f höchstens eine Nullstelle.
Wegen f(0) = -1 < 0 und f(1) = 1 - exp(-1) = 1 - 1/e > 1 - 1/2 = 1/2 > 0 hat f laut Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle im Intervall (0, 1).
