Injektivität einer Funktion beweisen. f: IR->IR, f(x) = x - epx(-x).

Question

f: IR->IR, f(x) = x - epx(-x).

1. Zu beweisen ist die Injektivität von f.
2. Zu beweisen ist, dass x = exp(-x) genau eine Lösung x aus IR hat.

Hab keinen Plan, bitte um Hilfe.

EDIT: Rechtschreibung in Überschrift korrigert. 

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Wow du hast es geschafft in deiner Überschrift in 4 Wörtern 2 Fehler einzubauen. Bitte achte auf die Schreibregeln und kontrolliere deine Rechtschreibung, bevor du deine Fragen abschickst.

Answer 1

f ist differenzierbar, weil f die Summe von differenzierbaren Funktionen ist. Insbesondere ist f deshalb auch stetig.

f ist injektiv, weil f wegen

        f'(x) = exp(-x) + 1 > 0 ∀ x∈ℝ

auf ganz ℝ streng monoton steigend ist.

Es ist

        x = exp(-x)
    ⇔ x - exp(-x) = 0
    ⇔ f(x) = 0.

Die Lösungen der Gleichung x = exp(-x) sind also genau die Nullstellen von f.

Wegen Injektivität hat f höchstens eine Nullstelle.

Wegen f(0) = -1 < 0 und f(1) = 1 - exp(-1) = 1 - 1/e > 1 - 1/2 = 1/2 > 0 hat f laut Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle im Intervall (0, 1).